---
title: "เรียน Calculus ด้วย Excel ตอนที่ 1 : พื้นฐานแคลคูลัส"
url: https://www.thepexcel.com/calculus-excel-01/
type: post
date: 2020-07-03
updated: 2020-07-08
author: Sira Ekabut
tags: [Calculus]
---

# เรียน Calculus ด้วย Excel ตอนที่ 1 : พื้นฐานแคลคูลัส

วันก่อนผมได้ถามแฟนเพจว่าอยากให้สอนเรื่องอะไรเป็นพิเศษ มีคำตอบนึงทำให้ผมสนใจมาก นั่นคือ อยากให้สอนพื้นฐาน​ Calculus แบบใช้​ Excel​ มาช่วยคำนวณ ตั้งแต่​ Limit, Differential, Integral etc.

 

ดังนั้น นี่คือบทความที่จะตอบเรื่องนั้นครับ ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าจะมีซักกี่ตอน (เพราะเรื่องนี้อาจไม่มีคนสนใจมากนัก ถ้าไม่ใช่สายวิทย์) แต่คิดว่าคงไม่ค่อยมีใครเขียนถึงอะไรแบบนี้เท่าไหร่ และถือเป็นการทบทวนความรู้ Math ผมไปด้วยในตัว ก็เลยทำซะเลย 555

 

เอาล่ะ เรามาเริ่มกันเลยดีกว่าว่า Calculus คืออะไร ความหมายของการ Diff จริงๆ คืออะไร แล้วใช้ใน Excel ยังไง?

 

## Calculus คืออะไร?

 

มันคือหลักการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ศึกษา “อัตราการเปลี่ยนแปลง” ซึ่ง ไอแซค นิวตัน ได้คิดต้นขึ้นเพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ต่างๆ เช่น กฎการเคลื่อนที่ กฎแห่งแรงโน้มถ่วง ที่คณิตศาสตร์สมัยนั้นอธิบายไม่ได้ (จริงๆ มีอีอกคนนึงก็คิดค้น Calculus ในแง่สัญลักษณ์ที่พวกเราใช้กันเหมือนกัน แต่ดันไม่ดังเท่านิวตัน)

 

ตามปกติแล้ว หากความสัมพันธ์ระหว่างค่า x กับ y เป็นเส้นตรง เราจะสามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x (หรือ ความชัน) ได้ง่ายๆ แบบนี้

 

```
ความชัน = การเปลี่ยนแปลงของ y / การเปลี่ยนแปลงของ x = ∆y /∆x = (y2-y1) / (x2-x1)
```

 

ซึ่ง**ไม่ว่าคิดที่ตรงจุดไหน ความชันก็เท่ากันทั้งเส้น**

 ![1](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-001-1024x373.png) 

แต่ถ้าความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ดันไม่ใช่เส้นตรง แปลว่า**แต่ละจุดของเส้นนั้นอาจมีความชันไม่เท่ากัน**ก็ได้ ดังนี้

 ![2](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-002-1024x427.png) 

ซึ่งแนวคิดของ Calculus ก็คือ การที่เราจะสามารถคำนวณหาอัตราการเปลี่ยนแปลง หรือหาความชันของจุดที่เราสนใจได้นั่นเอง (เพราะแต่ละจุดมันไม่เท่ากัน)

 

ทีนี้ Concept ของมันคือ เราจะหาความชันของจุดที่เส้นความชันมีการสัมผัสกับเส้นโค้งเป๊ะๆ เลยก็ไม่ได้อีก เพราะว่าที่จุดสัมผัสนั้นไม่มีความยาว ไอ้ความชัน ∆y /∆x เดี๋ยวตัวส่วน ∆x เป็น 0 แล้วจะได้ infinity คำนวณไม่ได้

 

เค้าก็เลยคิด Concept อันนึงขึ้นมาเรียกว่า Limits เพื่อคำนวณสิ่งที่เข้าใกล้ค่าที่กำหนด เช่น แทนที่จะหาความชันของจุดเป๊ะๆ ก็ไปหาความชันของรูปสามเหลี่ยมเล็กๆ แถวๆ จุดนั้นแทน โดยใช้สัญลักษณ์ x แทนจุดเริ่มของ x และเพิ่มระยะไป h จะได้ x+h (บางตำราก็ใช้ ∆x แทน h ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกัน)

 

```
ทำให้ความชันของสามเหลี่ยม = ∆y /∆x = f(x+h)-f(x) / h
```

 ![calculus excel](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-003x-1024x424.png) 

คราวนี้ค่า h มันก็อาจจะเยอะหรือน้อย ขึ้นอยู่กับสามเปลี่ยมใหญ่แค่ไหน **ถ้าเราอยากได้สามเหลี่ยมเล็กๆๆๆ เพื่อให้เราสามารถหาความชันของจุดที่เราต้องการที่จุด x ได้พอดี เราก็ต้องทำให้ระยะ h นั้นสั้นๆๆๆๆ ที่สุดเท่าที่จะทำได้ แต่ห้ามเป็น 0** เราก็จะเรียกว่า limit เมื่อ** h เข้าใกล้ 0**

 

เราเรียกการเปลี่ยนแปลงแบบน้อยมากๆๆๆๆๆ ว่า** Differentials **เช่นเจ้า ∆x เล็กๆ หรือ h ของเราเนี่ย

 
- เช่น เรียกการเปลี่ยนแปลง x น้อยๆๆ ว่า Differentials ของ x หรือ dx นั่นเอง
- เรียกการเปลี่ยนแปลงของ y น้อยๆ ว่า Differentials ของ y หรือ dy

 

เราเรียกอัตราการเปลี่ยนแปลงของ dy เทียบกับ dx เล็กๆ ที่เปลี่ยนไป ว่า** การหา Derivative (อนุพันธ์) ของ y เทียบกับ x** หรือชื่ออื่นๆว่า

 
- dy/dx (ซึ่งแน่ล่ะ เพราะมันเอาค่า y เล็กๆ หาร x เล็กๆ ไง)
- y’
- f'(x)

 

ซึ่งมีสูตรคือ

 \frac{dy}{dx} = lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} 

## ลองหาอนุพันธ์ของสมการ y=x^2 + 10

 

สมมติว่าสมการ y ของเรา หรือ f(x) คือ y=x^2 + 10 จะได้ว่า

 \frac{dy}{dx} = lim_{h \to 0} \frac{ ((x+h)^2+10 )- (x^2+10)}{h} 

กระจายตัวยกกำลังสองออกมา ด้วยสูตร (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

 \frac{dy}{dx} = lim_{h \to 0} \frac{ (x^2+2xh+h^2+10 )- (x^2+10)}{h} 

x2 +10 เหมือนกันตัดกัน แล้ว ดึง h ออกมานอกวงเล็บ

 \frac{dy}{dx} = lim_{h \to 0} \frac{ (2x+h )h}{h} 

h เศษกับส่วนตัดกันได้ เพราะว่า h ไม่ใช่ 0 แน่ๆ พอ h เข้าใกล้ 0 ทำให้ 2x+h เข้าใกล้ 2x เฉยๆ

 \frac{dy}{dx} = lim_{h \to 0} (2x+h ) = 2x 

**สรุป** เมื่อ y=x^2 + 10 แล้ว dy/dx คือ 2x นั่นเอง

 

แปลว่า เมื่อ y=x^2 + 10 แล้ว   
สมการของการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หรือ dy/dx หรือ Derivative ของ y เทียบกับ x จะได้ 2x นั่นเอง

 

หากเราเอา x กับ y’ มา Plot กราฟ จะได้เส้นสีส้มแบบนี้ ซึ่งค่า y’ คือความชัน ณ จุดที่ x มีค่าต่างๆ กัน เช่น

 
- ที่ x =-5, y’ =-10 คือความชันเป็น -10 (ลบเยอะ)
- ที่ x =0, y’ =0 คือความชันเป็น 0 (ศูนย์)
- ที่ x =5, y’ =10 คือความชันเป็น 10 (บวกเยอะ)

 

ซึ่งจะเห็นว่าตรงกับที่เราวาดรูปวิเคราะห์ไว้เลย

 ![3](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-005-1024x420.png) 

มาลองพิสูจน์กันว่า หากเราทำให้ ∆x น้อยลงแล้วหาความชันจะได้เหมือนกัน limits มั้ย?

 

## ทดสอบเรื่อง Limits เมื่อ ∆x เข้าใกล้ 0 ด้วย Excel

 

ถ้าเราใช้สมการลองทำให้ ∆x มันถี่ๆ มากๆ หน่อย ก็จะยังได้กราฟเส้นเดิมเนอะ ซึ่ง**เราจะมีค่า y’ เฉลย**เอาไว้เทียบกับสิ่งที่เราจะทดสอบ

 ![4](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-005x-1024x473.png) 

### คราวนี้เราจะลองมาหา y’ โดยใช้วิธีการคำนวณความชันระหว่าง ∆x ที่มีค่าต่างๆ กัน

 

#### เริ่มที่ ∆x เป็น 1

 

จะเห็นว่าค่า y’ ยังต่างจาก y’=2x พอสมควร ลอง plot trend line ออกมาได้ y’=2x+1 เฉยเลย (เพราะว่าค่า h หรือ ∆x ยังมากอยู่ ซึ่งยังไม่ถือว่าเข้าใกล้ 0)

 ![5](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-009-1024x344.png) 

#### คราวนี้ลอง ∆x เป็น 0.1

 

จะเห็นว่าค่าเริ่มใกล้เคียง y’=2x ขึ้น โดยเพี้ยนแค่ 0.1 แทนที่จะเพี้ยน 1 เหมือนเดิม 555

 ![6](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-010-1024x425.png) 

#### คราวนี้ลอง ∆x เป็น 0.0001

 

ยิ่งถ้า ∆x =0.0001 ยิ่งใกล้ๆๆๆ กับ 2x เข้าไปอีก

 ![7](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-008-1024x361.png) 

นี่แหละความหมายของ dy/dx ล่ะครับ ยิ่ง ∆x มันเข้าใกล้ 0 มันก็จะให้ค่าที่เป็นความชัน หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดนั้นๆ ให้เราเลย ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เค้าก็พยายามหาความสัมพันธ์สำเร็จรูปออกมาให้พวกเราได้ใช้แบบไม่ต้องไปใช้ limits อีกต่อไป

 

## สรุปสูตรของเรื่องการหา Derivative หรือ อนุพันธ์

 

### สูตรหลักที่ 1 : การ diff x^n

 \frac{d}{dx} x^n= nx^{n-1} 

สูตรนี้สูตรเดียวใช้ได้หลายเรื่องมาก เช่น

 

หาก diff ค่าคงที่ c ก็จะเปรียบเหมือนลองมองสูตรบนสุดให้ n เป็น 0 : จะทำให้ 0*X^(0-1) = 0 ไปด้วย

 \frac{d}{dx}c = 0 

หาก diff x ก็จะเปรียบเหมือนมองสูตรบนสุดให้ n เป็น 1 : จะทำให้ 1*X^(1-1) = 1 นั่นเอง

 \frac{d}{dx}x = 1 

### สูตรหลักที่ 2 : กระจายการบวกลบได้ตรงๆ

 \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)]= f'(x) \pm g'(x) 

จากสูตรนี้ทำให้เรารู้ว่า เราสามารถดึงค่าคงที่ออกมาได้

 \frac{d}{dx} cf(x) = c \frac{d}{dx}f(x) 

สาเหตุเพราะว่า

  cf(x) = f(x)+f(x)+f(x)+… c รอบ 

### สูตรหลักที่ 3 : กระจายการคูณ = หน้า diff หลัง + หลัง diff หน้า

 \frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)]= f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) 

### สูตรหลักที่ 4 : กระจายการหาร = (ล่าง diff บน – บน diff ล่าง) / ล่าง^2

 \frac{d}{dx} [\frac {f(x)} {g(x)}]= \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} 

## Higher-order Derivatives (อนุพันธ์อันดับสูง)

 

หาก y=f(x)

 

**อนพันธ์ปกติ หรือ อันดับ 1** คือ diff ไป 1 รอบ

 \frac{dy}{dx} = y’ = f'(x) 

**อนพันธ์อันดับ 2** คือ diff y ไป 2 รอบ

 \frac{d^2y}{dx^2} = y” = f”(x) = f^{(2)}(x) 

**อนพันธ์อันดับ n** คือ diff y ไป n รอบ

 \frac{d^ny}{dx^n} = f^{(n)}(x) 

## Calculus กับโจทย์การคำนวณเรื่องการเคลื่อนที่

 

หากเราสามารถ Plot ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง (s) กับ เวลา (t) ได้ด้วยฟังก์ชัน s = f(t)

 

เราจะสามารถคำนวณ**อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง เทียบกับ เวลา หรือ “ความเร็ว (v) “** ว่า

 v = \frac{ds}{dt}  

เราจะสามารถคำนวณ**อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว เทียบกับ เวลา หรือ “ความเร่ง (a) “** ว่า

 a = \frac{dv}{dt}  

เช่น สมมติว่าเราสามารถ**คำนวณตำแหน่งของการเคลื่อนที่ได้จากฟังก์ชันนี้ **(assume ว่า ความเร่ง a คงที่)

 s(t) = s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 
- s(t) = ระยะทาง ณ เวลาที่ t
- s0 = ระยะทางจุดเริ่มต้น
- v0 = ความเร็วจุดเริ่มต้น
- t = เวลาที่ผ่านไป
- a = ความเร่ง

 

จากกฎ Calculus เราจะ**คำนวณหาฟังก์ชันของความเร็วกับเวลา คือ v หรือ s'(t) **ได้จากกฎการกระจายการบวก

 v=s'(t) = v_0+at 

เพราะว่า

 \frac{d}{dt}s_0 = 0 \spaceและ\space \frac{d}{dt}v_0t = v_0 \spaceและ \frac{d}{dt}\frac{1}{2}at^2 = 2*\frac{1}{2}at 

**คำนวณหาฟังก์ชันของความเร่งกับเวลา คือ a หรือ s”(t) หรือ v'(t)**

 a=v'(t) = a 

ซึ่งก็ถูกต้องเพราะเคสนี้ สมการการเคลื่อนที่ที่ผมใช้ ต้องใช้กับกรณีที่มีค่า a คงที่นั่นเอง

 

สูตรพวกนี้ คือสูตรฟิสิกส์ที่เรียนกันใน ม.ปลาย ซึ่งจริงๆ ก็เป็นการหา Derivative มาให้แล้วแบบสำเร็จรูปนั่นเองล่ะครับ

 

เช่น กรณีที่เราปล่อยลูกบอกจากตึกที่สูง 200m ถามว่า ถ้าผ่านไป 3 วินาที บอลจะมีความเร็วเท่าไหร่

 

จากสูตรนี้

 v=s'(t) = v_0+at 
- v0= ความเร็วเริ่มต้น = 0 m/s
- a = ความเร่ง = แรงดึงดูดของโลก = 9.81 m/s^2
- t = 3 วินาที

 

ดังนั้นความเร็วที่วินาทีที่ 3 หลังจากปล่อย คือ =0+9.81*(3) = 29.4300 m/s

 

หากเราลองทำใน Excel ดูแบบไม่พึ่งพา Calculus แต่ใช้การเปลี่ยน t ที่ละ 0.0001 แทน ก็จะเป็นแบบนี้

 ![8](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-011-1024x400.png) 

จะเห็นว่าได้ค่าใกล้เคียงกับการใช้ Calculus มากๆ เลย และนี่แหละคือหลักการของการคำนวณ Change แบบเล็กๆ ของ Calculus ครับ

 

แปลว่าถ้าถามว่าวินาทีที่ 4 ความเร็วเป็นเท่าไหร่ ผมก็เอาระยะทางที่วินาทีที่ 4 กับวินาทีที่ 4.000001 ลบกัน หารด้วย 0.000001 ก็จบเหมือนกัน เช่น

 

```
v วินาทีที่ 4 =( 1/2*9.81*4.000001^2  -  1/2*9.81*4^2 )/0.000001 = 39.240005 
ซึ่งถ้าคิดจาก Calculus จะได้ v วินาทีที่ 4 =9.81*4 = 39.240 ซึ่งก็ถือว่า Excel ก็คำนวณได้ใกล้เคียงล่ะ 555
```

 

## ตอนต่อไป

 

ตอนต่อไปจะมาดูเรื่องที่ตรงข้ามกับ Derivatives นั่นก็คือ[การ Integrate นั่นเอง](https://www.thepexcel.com/calculus-excel-02-integrate/)

 

## สารบัญ Calculus

---

_Source: [https://www.thepexcel.com/calculus-excel-01/](https://www.thepexcel.com/calculus-excel-01/)_