---
title: "เรียน Calculus ด้วย Excel ตอนที่ 3 : Optimization หาจุดสูงสุด จุดต่ำสุด"
url: https://www.thepexcel.com/calculus-excel-03-optimization/
type: post
date: 2020-07-07
updated: 2025-12-22
author: Sira Ekabut
categories: ["Solver & Simulation"]
tags: [pi, optimize, solver, Calculus]
---

# เรียน Calculus ด้วย Excel ตอนที่ 3 : Optimization หาจุดสูงสุด จุดต่ำสุด

ตอนก่อนหน้านี้เราได้เรียนรู้ทั้งเรื่อง[การหาอนุพันธ์](https://www.thepexcel.com/calculus-excel-01/)และ[การอินทิเกรท](https://www.thepexcel.com/calculus-excel-02-integrate/)ไปแล้ว ในตอนนี้เราจะมาดูวิธีประยุกต์ใช้ความรู้[เรื่องอนุพันธ์](https://www.thepexcel.com/calculus-excel-01/)เพื่อทำ Optimization โดยการหาจุดสูงสุดต่ำสุดกันซักหน่อยครับ

 

## การทำ Optimization ด้วยการหาอนุพันธ์

 

เวลาเรามีฟังก์ชันอะไรซักอย่าง แล้วอยากจะหาว่าจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดในช่วงที่สนใจอยู่ที่ตำแหน่งไหน? เราจะทำยังไงกับมันได้บ้าง?

 

ก่อนจะไปหาค่าที่ทำให้เกิด “จุดสูงสุด” หรือ “จุดต่ำสุด” เราไปรู้จักอีกคำนึงก่อน นั่นก็คือ Critical Value หรือ ค่า x ที่ทำให้เกิดจุดวกกลับ (Extreme Point) ของเส้นกราฟซะก่อน

 ![optimization maximize minimize](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-001xx-1024x560.png) 

ซึ่งจุดวกกลับก็จะมี 2 ลักษณะอีกคือ

 
- ถ้า**ความชันของกราฟเปลี่ยนจากบวก ไป0 แล้ว ไปลบ** แสดงว่าจุดวกกลับนั้นเป็นแบบตัว A ซึ่งก็น่าจะ**ทำให้เกิดจุดต่ำสูงสุด**
- ถ้า**ความชันของกราฟเปลี่ยนจากลบ ไป0 แล้ว ไปบวก** แสดงว่าจุดวกกลับนั้นเป็นแบบตัว U ซึ่งก็น่าจะ**ทำให้เกิดจุดต่ำสุด**

 

แปลว่า**ถ้าเราหาสมการของอนุพันธ์ได้ แล้วเอามาเทียบกับค่า 0** ก็จะสามารถแก้สมการหาได้ว่า x ค่าใดทำให้เกิดความชันเป็น 0 บ้าง ซึ่งก็คือค่าที่ทำให้เกิดจุดวกกลับนั่นเอง

 

```
จาก y=x^3-10x^2
```

 

เมื่อ Diff แล้วจะได้แบบนี้

 

```
y'=3x^2-20x
```

 

เดี๋ยวผมลอง Plot กราฟดู

 ![1](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-011-1024x478.png) 

**จะเห็นชัดเลยว่าจุดวกกลับนั้นมีค่า y’ เป็น 0 จริงๆ **

 

ดังนั้นเราเอา 3x^2-20x=0 แล้วแก้สมการ

 

แยกตัวประกอบเทียบกับ 0

 

x(3x-20)=0

 

จะได้ว่า

 
- x=0 หรือ
- 3x-20=0 ซึ่ง x=20/3 = 6.667 นั่นเอง

 

ทีนี้ถ้าเราอยากจะ Test ว่า จุดที่เราแก้สมการมาได้ เช่น x=0, x= 6.6667 นั้น จุดไหนเป็นประเภทจุดวกกลับแบบไหน เป็นแบบจุดสูงสุด หรือ ต่ำสุด โดยไม่อยาก Plot กราฟออกมา หรือไม่อยากจะมานั่งดูค่าบริเวณใกล้เคียง **เราก็สามารถทดสอบได้จากการหาค่า y” ที่จุด x นั้นๆ **นั่นเอง

 ![2](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-013-1024x444.png) 
- **ถ้าค่า y” ที่ x นั้นๆ มากกว่า 0 **=ความชัน (y’) มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นบวก (แปลว่า ความชันเพิ่มจาก – 0 + ) แสดงว่า**เป็นจุดวกกลับแบบต่ำสุด** (ชันจาก – 0 + คล้าย กับว่าถึงเวลาที่เป็นขาขึ้นแล้วนั่นเอง )
- **ถ้าค่า y” ที่ x นั้นๆ น้อยกว่า 0 **=ความชัน (y’) มีอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นลบ (แปลว่า ความชันเพิ่มจาก + 0 – ) แสดงว่า**เป็นจุดวกกลับแบบสูงสุด**

 

ในกรณีตัวอย่างของเรา ที่จุดที่แก้สมการมาได้ 2 ตัว

 
- ที่จุด x=0 , y” =-20 ซึ่งเป็นลบ แสดงว่าเป็นจุดวกกลับแบบจุดสูงสุด
- ที่จุด x=6.667, y”=20 ซึ่งเป็นบวก แสดงว่าเป็นจุดวกกลับแบบจุดต่ำสุด

 

อย่างไรก็ตาม จุดวกกลับสามารถมีได้หลายแบบ และมีได้หลายจุดด้วย เรามารู้จักคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกันนิดนึง

 
- จุดวกกลับที่เป็นประเภทสูงสุดทั้งหมด เรียกว่าเป็น **จุดสูงสุดสัมพัทธ์** (Relative Maximum หรือ Local Maximum)
    - **ในกราฟ y **คือจุดที่ x=0,y=0
    - **ในกราฟ y’ ไม่มี** เพราะไม่มีจุกวกกลับรูปตัว A เลย
- จุดวกกลับที่เป็นประเภทต่ำสุดทั้งหมด เรียกว่าเป็น **จุดต่ำสุดสัมพัทธ์** (Relative Minimum หรือ Local Minimum)
    - **ในกราฟ y **คือ จุดที่ x=6.667, y=-148.148
    - **ในกราฟ y’ ** คือ จุด x=3.333, y’= -33.33
- คำว่า**สัมพัทธ์ พูดง่ายๆ ก็คือ เมื่อลองเทียบกับบริเวณข้างๆ แล้วเป็นยังไง**

 

ทีนี้มาดูแบบสัมบูรณ์กันบ้าง

 
- แต่ถ้าจุดใดที่ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดจริงๆ เมื่อเทียบกับทุกจุด แบบนี้เรียกว่า **จุดสูงสุดสัมบูรณ์ **(Absolute Maximum หรือ Global Maximum)
    - **ในกราฟ y ไม่มี **เพราะ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แล้ว y ก็เพิ่มขึ้นไปจนถึง infinity
- แต่ถ้าจุดใดที่ฟังก์ชันมีค่าน้อยที่สุดจริงๆ เมื่อเทียบกับทุกจุด แบบนี้เรียกว่า **จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ **(Absolute Minimum หรือ Global Minimum)
    - **ในกราฟ y ไม่มี** เพราะ x ลดลงเรื่อยๆ แล้ว y ก็ลดลงไปจนถึง -infinity
    - **ในกราฟ y’ **คือ จุด x=3.333, y’= -33.33
    - จะเห็นว่าจุดที่เป็น Absolute Max/Min ก็จะเป็น Relative Max/min ด้วยเสมอ แต่ในทางกลับกันไม่ใช่นะ

 ![3](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-012.png)
*[https://www.mathsisfun.com/algebra/functions-maxima-minima.html](https://www.mathsisfun.com/algebra/functions-maxima-minima.html)*
 

นอกจากวิธีนี้แล้ว การหาค่าจุดสูงสุดต่ำสุดด้วยเครื่องมืออื่นๆ ก็มีดังนี้

 

### หาค่าจุดสูงสุดต่ำสุดด้วยเครื่องมืออื่นๆ

 

#### ใช้ Excel Solver

 

หากจะใช้ Excel ทำ Optimization เราจะใช้ Solver Add-in มาทำ เพราะมันเป็นเครื่องมือที่มีมากับ Excel อยู่แล้ว และเก่งกว่า Goal Seek ตรงที่หาค่า Min, Max ได้ และใส่ข้อจำกัดหรือ Constrain ได้ด้วย

 

วิธีการเรียกใช้ Solver ให้ไปที่ File -> Excel Options -> Add-in -> Go… -> ติ๊ก Solver Addin

 ![4](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/integrate-020-1024x714.png) 

เช่น เราสามารถให้ Solver ทำการ

 
- **Set Objective** : หาค่า y (B3) น้อยสุด (Min)
- **By Changing Variable Cell **: โดยที่ให้เปลี่ยนค่า x (A3) ไปเรื่อยๆ
- **Subject to the Constraints** : โดยมีข้อจำกัดคือ x>=0

 ![5](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-005-1024x604.png) 

**Solving Method ให้เลือก GRG Nonlinear** เพราะเราก็ได้เห็นแล้วว่าสมการระหว่างค่า x กับ y นั้นเป็นเส้นโค้ง **ไม่ใช่เส้นตรง**

 

พอกด Solve : จะได้ว่า Solver ก็สามารถหาค่า x ที่ทำให้ y ต่ำสุดได้ 6.667 เช่นกัน

 ![6](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-006.png) 

หรือจะทำอีกแบบนึงคือ Solve หาค่า x ที่ทำให้ y’ เป็น 0 (Value of : 0) โดยที่ x>=0.1 ก็ได้เช่นกัน พอ Solve ก็จะได้คำตอบเดียวกัน

 ![7](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-008-1024x601.png) ![8](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-009.png) 

#### ใช้เว็บ Wolfram Alpha

 

เขียนสิ่งที่ต้องการรู้ใน[เว็บ Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/) ซึ่งเป็นเว็บด้านการคำนวณทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ **บอกเลยว่าโคตรโกง!! **เพียงแค่ใส่สมการแล้วมันแก้ให้เลยแบบนี้ก็ได้

 

[3x^2-20x=0](https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%5E2-20x%3D0)

 

[![9](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-002-1024x690.png)](https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%5E2-20x%3D0)

 

เอาจริงๆ ใส่สมการดังเดิมแบบนี้ไปเลยยังได้ [minimize maximize y=x^3-10x^2](https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+maximize+y%3Dx%5E3-10x%5E2)

 ![10](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-003-1024x650.png) 

## ตัวอย่างเชิงประยุกต์ : ออกแบบภาชนะที่ต้นทุนต่ำสุด

 

ถ้าต้องทำทรงกระบอกบรรจุน้ำปริมาตร 1 ลิตรพอดี (แบบมีฝาปิดด้วย) ควรจะทำทรงกระบอกรัศมี (r) เท่าไหร่ สูง (h) เท่าไร่ จึงจะประหยัดวัตถุดิบที่ใช้ผลิตมากที่สุด

 ![11](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/behr-paint-buckets-lids-96604-64_1000.jpg) 

จะเห็นว่าการที่จะประหยัดวัตถุดิบให้ได้มากที่สุด ก็คือ ต้องทำให้**พื้นที่ผิวน้อยที่สุด**นั่นเอง (นี่แหละคือการ Optimization)

 

### พื้นที่ผิว

 

ซึ่งพื้นที่ผิวคิดจาก พื้นที่ฝาและก้น รวมกับพื้นที่ผิวทรงกระบอกด้านข้าง

 

**พื้นที่ฝาและก้น** : เป็นพื้นที่วงกลม 2 อัน ฝาปิดบนกับฐานข้างล่าง

 

```
= PI()*r^2 * 2 อัน
```

 

**พื้นที่ผิวรอบๆ : **มาจากทรงกระบอกด้านข้าง = เส้นสอบรูปวงกลม *ความสูง

 

```
=2*PI()*r*h
```

 

```
พื้นที่ผิวรวม A(r,h) = 2* PI()*r^2 + 2*PI()*r*h
```

 

### ปริมาตร

 

```
ปริมาตร V = PI()*r^2 *h
```

 

ย้ายข้างให้เหลือ h ตัวเดียว

 

```
h = V/(PI()*r^2)
```

 

เราเอา h ที่เป็นข้อจำกัดนี่ เข้าไปแทนในสมการพื้นที่ A ซะ เพื่อให้ฟังก์ชันของพื้นที่เขียนอยู่ในรูปแบบของ r ตัวเดียว

 

```
พื้นที่ผิวรวม A(r) = 2* PI()*r^2 + 2*PI()*r* V/(PI()*r^2)
```

 

ตัดไปตัดมา จะได้ว่า

 

```
A(r) = 2* PI()*r^2 + 2V/r
```

 

หากเรา diff หา A’ จะได้ว่า

 

```
A'(r) = 4* PI()*r - 2V/r^2
```

 

ถ้าเรา Solve หา r ที่ทำให้ A'(r) เป็น 0 จะได้ว่า

 

```
4* PI()*r = 2V/r^2
V = 2 * PI()* r^3
r = (V / 2 * PI() )^(1/3)
```

 

V ในที่นี้ที่เราต้องการปริมาตรคือ 1000 cm3 ก็แทนค่าเลย

 

```
r  = (1000 / (2 * PI()))^(1/3) = 5.419261 m นั่นเอง
```

 

ส่วนความสูง h เรารู้ความสัมพันธ์ของมันอยู่แล้ว ก็แทนค่าตัวแปรเลย

 

```
h = V/(PI()*r^2) = 1000/(PI()*5.419261^2) = 10.83852 cm
```

 

หากเราลอง Plot กราฟด้วย Excel ที่ V=1000 จะได้เห็นภาพ ดังนี้

 ![12](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/07/calculus-apply-014-1024x439.png) 

ที่ r ประมาณ 5.4 ทำให้ Aต่ำสุดจริงๆ เพราะว่า

 

A’ อยู่ที่ประมาณ 0 ส่วน A” มีค่าเป็น + แสดงว่า A’กำลังชันขึ้น แสดงว่าเป็นจุดวกกลับแบบต่ำสุดนั่นเอง

 

## สารบัญ Calculus

---

_Source: [https://www.thepexcel.com/calculus-excel-03-optimization/](https://www.thepexcel.com/calculus-excel-03-optimization/)_