---
title: "Statistics with Excel  ตอนที่ 2 : ความน่าจะเป็น"
url: https://www.thepexcel.com/stats-02-probability/
type: post
date: 2020-06-15
updated: 2025-12-22
author: Sira Ekabut
categories: [Statistics and Maths]
tags: [PRODUCT, Excel and Statistics, FACT, COMBIN, PERMUT, combination, probability]
---

# Statistics with Excel  ตอนที่ 2 : ความน่าจะเป็น

ในตอนที่แล้วเราได้พูดถึง[ภาพรวมของสถิติและค่าทางสถิติเบื้องต้น](https://www.thepexcel.com/stats-01-descriptive-statistics/)กันไปแล้ว ในตอนนี้เราจะมาปูพื้นฐานอีกเรื่องที่สำคัญมากๆ นั่นก็คือเรื่อง ความน่าจะเป็น หรือภาษาอังกฤษว่า Probability นั่นเอง

 

**Probability** (ความน่าจะเป็น) คือ ค่าที่บอกให้รู้ว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจจะมีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยแค่ไหน   
โดยมีค่าตั้งแต่ 0 (ไม่มีทางเกิดขึ้น) ถึง 1 (เกิดขึ้นแน่นอน) หรือจะเขียนเป็น 0% – 100% ก็ได้ (เพราะ % คือหาร 100)

 

เช่น ความน่าจะเป็นของการถูกรางวัลเลขท้าย 2 ตัว คือ 1 ใน100 หรือ 0.01 หรือ 1% เราก็จะรู้ว่าโอกาสมันน้อยมาก…

 

การเข้าใจความน่าจะเป็น จะช่วยให้เราตัดสินใจได้ดีขึ้น (กว่าไม่รู้) ซึ่งเรื่องนี้เป็นเรื่องที่มีประโยชน์มากๆ

 

**บอกเลยว่าบทความนี้ยาวมาก แต่ผมก็ตั้งใจเขียนบทความนี้มากๆ เช่นกัน และอยากให้ออกมาดีที่สุดเท่าที่ทำได้ **หวังว่าทุกคนจะได้ศึกษาจนเข้าใจและใช้มันได้อย่างสนุกสนานด้วยนะครับ

 

## นิยามของคำที่เกี่ยวข้อง

 

การที่เราจะเข้าใจเรื่องความน่าจะเป็นนั้นเราจะต้องทำความรู้จักคำศัพท์ต่างๆ เหล่านี้ก่อน ดังนั้นมาลุยกันเลย!

 
- **Trial **= การทดลอง หรือ การสังเกตการณ์ ซึ่งมักจะเป็นเหตุการณ์ที่เราไม่รู้แน่ชัดถึงผลลัพธ์ เช่น Trial คือการโยนเหรียญ การทอยลูกเต๋า การการดึงไพ่ เป็นต้น ซึ่งความน่าจะเป็นนั้นจะให้ความสนใจถึงผลลัพธ์ของ Trial นั้นๆ
- **Sample Space (S)** = ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ Trial   
  เช่น การโยนเหรียญ ซึ่งหน้าเหรียญที่เป็นไปได้มี 2 แบบ คือ h=หัว, t= ก้อย
    - ถ้า Trial เป็นการโยนเหรียญ 1 ครั้ง S ={h,t} คือมีทั้งหมด 2 แบบ
  
  
    - ถ้า Trail เป็นการโยนเหรียญ 2 ครั้ง S = {(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)} ซึ่งจะมีทั้งหมด 4 แบบ
- **Events (E)** = เหตุการณ์ใน Sample Space ที่เราสนใจ เช่น เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง ในการโยนเหรียญ 2 ครั้ง คือ E={(h, h), (h, t), (t, h)} ซึ่งเป็นไปได้ 3 แบบ

 

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของสิ่งที่เราสนใจ จะเขียนได้ว่า

 

```
Probability of Event หรือ P(E) = จำนวน Event E / จำนวน Sample Space = E/S
```

 
- S = {(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)} = 4 แบบ
- E = {(h, h), (h, t), (t, h)} = 3 แบบ

 

ดังนั้น P(ออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้งในการโยนเหรียญ 2 ครั้ง) = 3/4 = 0.75 หรือ 75% นั่นเอง

  

## **Counting Theory** (กฎการนับ)

 

การที่จะคำนวณความน่าจะเป็นได้ดีแบบไม่ต้องมานั่งเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทีละตัวนั้น เราจะต้องนับ Event และ Sample Space ให้ถูกต้องโดยใช้หลักการต่างๆ เหล่านี้ให้เป็นเสียก่อน

 

### กฏพื้นฐานของการนับ (Fundamental Principle of Counting)

 

มีกฎ หลักๆ 2 อันในการหาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ

 
1. **ถ้าสิ่งที่ต้องทำมีหลายขั้นตอน **ให้เอาจำนวนทางเลือกแต่ละขั้นตอน**คูณกัน**
2. **ถ้าสิ่งที่ต้องทำเป็นไปได้หลายกรณี** ให้เอาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในแต่ละกรณี**บวกกัน** (ระวังบวกเบิ้ลหากมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดทั้ง 2 กรณีพร้อมกัน)

 

#### ตัวอย่าง : แต่งตัวเล่นละคร Titan

 

สมมติว่าในการเล่นละครเวทีคุณต้องเลือกว่าจะเล่นเป็นฝ่ายมนุษย์ หรือฝ่าย Titan (ยักษ์)

 
- **ถ้าเป็นฝ่ายมนุษย์** : จะมีเสื้อให้เลือก 4 แบบ กางเกง 2 แบบ
- **ถ้าเป็นฝ่าย Titan** : จะเลือกใส่ชุดได้ 9 ชุด แต่ละชุดมี 3 สี

 

ถามว่า**มีความเป็นไปได้ในการแต่งตัวเล่นละครเวทีทั้งหมดกี่แบบ?**

 

แบบนี้จะเห็นว่ามี 2 กรณี คือ กรณีเล่นเป็นมนุษย์ กับเล่นเป็นฝ่าย Titan ซึ่งเราต้องคิดแยกกรณีกัน แล้วเอามาบวกกัน

 

**ฝ่ายมนุษย์ **: มีเสื้อ 4 แบบ กางเกง 2 แบบ จะแต่งตัวได้กี่แบบ = มีขั้นตอนต้องทำ 2 ขั้นคือ เลือกเสื้อกับเลือกกางเกง   
ดังนั้นต้องเอารูปแบบของทั้ง 2 ขั้นตอนคูณกัน = ใส่เสื้อ ได้ 4 แบบ * ใส่กางเกงได้ 2 แบบ = มีการใส่เสื้อผ้า 8 วิธี

 

**ฝ่าย Titan **: มี 9 ชุด 3 สี = มีขั้นตอนต้องทำ 2 ขั้นคือ เลือกชุดกับเลือกสี   
ดังนั้นต้องเอารูปแบบของทั้ง 2 ขั้นตอนคูณกัน = ใส่ชุด ได้ 9 แบบ * เลือกสีได้ 3 แบบ = มีการใส่เสื้อผ้า 27 วิธี

 

รวมทุกกรณี มีรูปแบบการใส่เสื้อผ้า = 8 + 27 = 35 วิธี

 

#### ทำไมมีหลายขั้นตอนแล้วต้องคูณกัน?

 

วิธีที่จะเข้าใจเรื่องการนับพื้นฐานได้ดี คือ การวาดแผนผังต้นไม้ (**Tree Diagram**) ดังนี้ จะเข้าใจได้เลยว่าทำไมต้องคูณกัน

 ![1](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/probability-001.png) 

โดยที่ใน Excel เราสามารถเอาตัวเลขทั้งหมดใน Range คูณกันได้ง่ายๆ โดยใช้ฟังก์ชัน PRODUCT มาช่วย

 

```
=PRODUCT(data)    // ใส่ data เป็น range ได้เลย
```

 

ใครสนใจ**วิธี List ความเป็นไปได้ทั้งหมดออกมา** สามารถดูในคลิปนี้ได้ครับ

    

### ทำความรู้จัก Factorial

 

**คำถาม :** ตัวอักษรคำว่า SIRA สามารถนำมาสลับกันได้กี่รูปแบบ? (ไม่สนใจความหมาย)

 

**วิธีคิดให้เข้าใจง่ายๆ** คือ เหมือนมี Slot ให้ใส่ข้อความได้ 4 ตำแหน่ง แล้วเรามี Block ตัวอักษรอยู่ 4 ตัวคือ S, I, R, A เราจะสามารถสร้างคำได้กี่รูปแบบ?

 

แสดงว่าการทำงานมี 4 ขั้นตอน คือ เลือกตัวใส่ Slot1, 2, 3, และ 4 ตามลำดับ ดังนั้นเราต้องเอารูปแบบแต่ละขั้นตอนมาคูณกัน

 
- Slot 1 = มีให้เลือก 4 ตัว
- Slot 2 = มีให้เลือก 3 ตัว (เพราะหยิบไปใส่ใน Slot 1 แล้วอันนึง)
- Slot 3 = มีให้เลือก 2 ตัว
- Slot 4 = มีให้เลือก 1 ตัว

 

ดังนั้นการคำนวณ = 4*3*2*1 = 24 วิธี ดังนี้ (เห็นมะว่าเยอะ ผม List เองยังเหนื่อยเลย)

 ![2](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/sira.png) 

**ซึ่งเจ้า 4*3*2*1 นั้น สามารถเขียนได้อีกอย่างว่า 4! ซึ่งอ่านว่า “4 แฟคตอเรียล”**

 

โดยที่ n! อ่านว่า “n แฟคตอเรียล” หมายถึง เอาตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองลบ 1 ไปเรื่อยๆ จนถึง 1 นั่นเอง

 

**สิ่งที่ควรรู้คือ ค่า 0! จะได้ 1 นะครับ*

 

ซึ่งใน Excel สามารถใช้ฟังก์ชัน FACT ได้แบบง่ายๆ คือ

 

```
=FACT(number)
=FACT(4) จะออกมาได้ =24 เลย
```

 

### กรณีมีตัวซ้ำที่เราไม่อยากจะนับ

 

อย่างไรก็ตามหากรูปแบบบางอย่างให้ผลลัพธ์เหมือนกันแล้วเราไม่อยากจะนับซ้ำ เราสามารถหารทิ้งเพื่อกำจัดตัวซ้ำได้

 

เช่น **ตัวอักษรคำว่า SIRI สามารถนำมาสลับกันได้กี่รูปแบบ? (ไม่สนใจความหมาย)**

 

ถ้าคิดแบบผิวเผิน เผลอคำนวณด้วยหลักการเดิมว่ามี 4 Slot จะได้ออกมาเป็น 4! คือ 24 รูปแบบ   
แต่ถ้าดูผลลัพธ์แล้วจะพบเหตุการณ์เหล่านี้… ว่ามันมีข้อมูลซ้ำกันอยู่

 ![3](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/siri.png) 

รูปแบบมันซ้ำกันเพราะ**ตัว i มี 2 ตัว ซึ่งสลับที่กันแล้วไม่มีความหมาย** ทำให้หากลอง Remove Duplicates ใน Excel จะเห็นว่ามีรูปแบบผลลัพธ์แค่ 12 แบบเท่านั้น ไม่ใช่ 24

 

วิธีคำนวณที่ถูกต้อง ต้องเอาจำนวนรูปแบบการสลับของตัวที่ซ้ำไปหารทิ้ง คือ i ที่มี 2 ตัว ไปคำนวณรูปแบบการสลับได้ 2! (แฟคตอเรียล) แล้วเอาไปหารทิ้ง นั่นคือ

 

```
=4!/2! = FACT(4)/FACT(2) = 12     //โดยที่หารด้วย 2! เพราะมีตัว i ซ้ำกัน 2 ตัว 
```

 

**ถ้าถามว่า คำว่า THEPEXCEL สลับกันได้กี่แบบ?**

 

```
=9! /3!  = FACT(9)/FACT(3) = 60480 วิธี   //โดยที่หาร 3! เพราะมีตัว e ซ้ำกัน 3 ตัว
```

 

**ถ้าถามว่าคำว่า GOOGLE สลับกันได้กี่แบบ?**

 

```
=6!/2!2!  = FACT(6)/(FACT(2)*FACT(2)) = 180 วิธี   
//โดยที่หาร 2! 2รอบ เพราะมีตัว G ซ้ำกัน 2 ตัว และ O ซ้ำกัน 2 ตัว นั่นเอง
```

 

ซึ่งกฎการนับนี้มันก็จะสามารถเอามาทำให้กลายเป็นสูตรสำเร็จรูปได้อีก 2 แบบใหญ่ๆ ก็คือ Permutation กับ Combination ซึ่งเอาจริงๆ แล้วเราใช้แต่กฎการนับก็ได้คำตอบแบบเดียวกันนั่นแหละ แต่สูตรสำเร็จรูปเหล่านี้มีให้ใช้ใน Excel ด้วย มันจึงง่ายกว่าปกติมากๆ

 

### **Permutation** (เรียงสับเปลี่ยน)

 

คือการหาจำนวนรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการเลือกของ k สิ่งจาก n สิ่ง โดยที่ลำดับมีความสำคัญ มีสูตรคือ

 

```
nPk = n! / (n-k)!    //โดยที่ลำดับมีความสำคัญ
```

 

เช่น มีของกิน 5 อย่าง เลือกกิน 2 อย่าง จะเลือกได้กี่แบบ โดยที่ลำดับในการกินมีความสำคัญ  
จะได้ว่า

 

```
5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4 = 20 แบบ
```

 

ใน Excel เราสามารถใช้ฟังก์ชัน PERMUT ได้เลย

 

```
=PERMUT(number,number_chosen)
=PERMUT(5,2) จะออกมาได้ 20 เลยแบบชิวๆ
```

 

จริงๆ ถ้ามองด้วยกฎการนับมันก็ Make Sense มากๆ อยู่แล้ว ตอนแรกมีของ 5 อย่างให้เลือก คือ 5 วิธี เมื่อเลือกไปแล้ว 1 อย่าง ทำให้เหลือให้เลือกในขั้นตอนต่อไปเพียง 4 วิธี ทำให้เป็น 5 * 4 = 20 แบบ นั่นเอง

 

ซึ่งถ้าหากมีของ 5 อย่าง เลือกกิน ทั้งหมด 5 อันเลย ก็จะมีลำดับการกิน = 5*4*3*2*1 หรือ 5! นั่นเอง

 

### **Combination** (การจัดหมู่)

 

Combination นั้นจะเหมือนกับ Permutation แต่ว่าการเรียงลำดับไม่มีความหมาย ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดเรียงจึงต้องน้อยกว่า Permutation แน่นอน ทำให้ต้องหาร Permutation ด้วย k! (เพื่อกำจัดตัวซ้ำความหมาย คล้ายๆ กับตัวอย่างข้างบนที่เราหารตัวซ้ำ) ได้ว่า

 

```
nCk = n! / (n-k)!k!         //โดยที่ลำดับไม่มีความสำคัญ
```

 

เช่น ถ้าคล้ายๆ ในตัวอย่างที่แล้วคือ มีของกิน 5 อย่าง เลือกกิน 2 อย่าง **แต่คราวนี้ลำดับการกินไม่สำคัญ**   
เราจะได้ว่า

 

```
5C2 = 5!/(5-2)!2! = 10 แบบ
```

 

ใน Excel เราสามารถใช้ฟังก์ชัน COMBIN ได้เลย

 

```
=COMBIN(number,number_chosen)
=COMBIN(5,2) จะออกมาได้ 10 เลยง่ายๆ
```

  

### ตัวอย่าง Permutation, Combination

 

#### **ตัวอย่าง :** เลือกคนมาเข้าขบวนการ 5 สี

 

จะมีวิธีในการเลือกคนมาเป็นขบวนการ 5 สี ที่มี 3 สีเป็นผู้ชาย อีก 2 สีเป็นผู้หญิง จากชายที่มีศักยภาพ 10 คน หญิง 7 คน ได้กี่วิธี

 

จะเห็นว่ามี 2 ขั้นตอน คือ ขั้นตอนการเลือกผู้ชาย กับ ขั้นตอนเลือกผู้หญิง ดังนั้นต้องเอารูปแบบคูณกัน

 
- ขั้นตอนการเลือกผู้ชาย = 10P3 ซึ่งใช้ Permutation เพราะลำดับของสีมีความสำคัญ =PERMUT(10,3)
- ขั้นตอนการเลือกผู้หญิง = 7P2 ซึ่งใช้ Permutation เพราะลำดับของสีมีความสำคัญ =PERMUT(7,2)

 

**สรุป**

 

```
=PERMUT(10,3)*PERMUT(7,2) = 30240 วิธี
```

 

#### **ตัวอย่าง :** เลือกดินสอสีมา 4 สี จากกล่องดินสอ 12 สี

 

**ความต้องการ 1** : เลือกสีมา 4 สี สีอะไรก็ได้ จากดินสอ 12 สี

 

```
=12C4 =COMBIN(12,4) = 495 แบบ
```

 

**ความต้องการ 2** : เลือกสีมา 4 สี ต้องมีสีเขียวด้วยเสมอ จากดินสอ 12 สี

 

ให้มองเป็นเลือกสีเขียวมาก่อน แล้วค่อยเลือกสีอื่นอีก 3 สี

 

```
=1C1 * 11C3 = COMBIN(11,3) = 165 แบบ
```

 

## คำนวณความน่าจะเป็น

 ![4](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/event.jpg) 

พอเราสามารถนับเหตุการณ์ทั้งหมดได้ (Sample Space) และนับเฉพาะเหตุการณ์ที่สนใจได้ (Event)

 

เราก็จะสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของ Event E ได้ว่า

 

```markdown
P(E) = จำนวน Event E / จำนวน Sample Space = E/S นั่นเอง
```

 

## รูปแบบความสัมพันธ์ทางตรรกศาสตร์ของเหตุการณ์

 

ทีนี้เรื่องของเหตุการณ์ที่เราสนใจ มันอาจจะมีหลายเหตุการณ์ก็ได้ ซึ่งบางทีเหตุการณ์เหล่านั้นก็มีความสัมพันธ์เชิง Logic กัน ดังนี้ เช่น สมมติว่า

 
- S คือ คนในบริษัททั้งหมด (Sample Space คือ สิ่งที่เป็นไปได้ทั้งหมด)
- E คือ คนในบริษัทที่ใส่แว่น (Eye Glass)
- F คือ คนในบริษัทที่เป็นผู้หญิง (Female)

 

เราสามารถใช้ความรู้นี้ประยุกต์ใช้ได้กับทั้งกฏการนับ และ ความน่าจะเป็นเลย (เพราะจริงๆ ก็คือแนวคิดเดียวกัน)

 

**Union** การรวมเหตุการณ์ด้วยเงื่อนไขแบบ OR หรือ เขียนโดย E U F คือ เหตุการณ์ E หรือ F หรือ ทั้ง 2 อย่างเกิดขึ้น

 ![5](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/union2.jpg) 

ดังนั้น E U F คือ เหตุการณ์ที่เจอคนที่ใส่แว่น หรือ เป็นผู้หญิงก็ได้ ซึ่งรวมถึงคนเหล่านี้ทั้งหมด

 
- เป็นผู้ชายใส่แว่น
- เป็นผู้หญิงไม่ใส่แว่น
- เป็นผู้หญิงใส่แว่น

 

**Intersection** = เหตุการณ์ที่ซ้ำกัน E ∩ F คือ ต้องเกิดทั้งเหตการณ์ E และ F พร้อมกัน

 ![6](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/intersect2.jpg) 

ดังนั้น E ∩ F คือ เหตุการณ์ที่ต้องเป็นเจอผู้หญิงใส่แว่นเท่านั้น

 

**Complement **= ~E คือ เหตการณ์ที่ไม่ใช่เหตการณ์ E

 ![7](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/complement.jpg) 

ดังนั้น ~E คือ เหตุการณ์ที่เจอคนไม่ใส่แว่นเท่านั้น

 

```markdown
ซึ่ง P(E) + P(~E) = P(S) = 1  
```

 

### ประโยชน์ของกฎเรื่อง Complement

 

จาก P(E) + P(~E) = 1 เราสามารถเขียนได้ว่า

 

```markdown
P(E)= 1 - P(~E) 
```

 

เช่น ถ้ารู้ความน่าจะเป็นคนที่ไม่ใส่แว่นว่าคือ 70% ดังนั้นความน่าจะเป็นของคนใส่แว่นคือ 30% นั่นเอง

 

ซึ่งแปลว่าบางทีเมื่อเราหาความน่าจะเป็น P(E) ตรงๆ ยาก เราก็หาตัวที่ไม่ใช่ E ที่เรียกว่า P(~E) แล้วค่อยเอา 1 มาลบจะง่ายกว่า อย่างเช่นตัวอย่างต่อไปนี้

 

#### **ตัวอย่าง :** วันเกิดตรงกัน

 

**จงหาโอกาสที่กลุ่มคนจำนวน 30 คนจะมีอย่างน้อย 1 คู่ที่มีวันเกิดตรงกัน?**

 

การจะหาอย่างน้อย 1 คู่ที่วันเกิดตรงกันตรงๆ นั้นยาก ให้หาโอกาสที่คน 30 คนจะมีวันเกิดไม่ตรงกันเลยดีกว่า (ผมขอ assume ว่าปีนึงมี 365 วันเสมอเพื่อความง่าย)

 

ให้คิดว่าวัน 365 วันในปีเป็นลูกบอลในโหลจำนวน 365 ลูก แล้วเราต้องสุ่มทั้งหมด 30 ครั้ง = 365^30 แบบ

 

กรณีที่คน 30 คนมีวันเกิดไม่ตรงกันเลย ก็คือ คนแรกเป็นไปได้ 365 แบบ แต่คนต่อไป เหลือ 364,363,362… ไปเรื่อยๆ   
อยากให้คูณไล่จาก 365 ไปแค่ 30 รอบ ซึ่งมองได้ว่า= 365!/(365-30!) = ใช้สูตร Permutation ได้= 365P30 ก็ได้ =PERMUT(365,30)

 

ดังนั้นความน่าจะเป็น ที่คน 30 คนมีวันเกิดไม่ตรงกันเลย คือ

 

```
=PERMUT(365,30)/365^30
=29.368%
```

 

โอกาสที่คน 30 คนจะมีอย่างน้อย 1 คู่ที่วันเกิดตรงกัน = 1 – ความน่าจะเป็น ที่คน 30 คนมีวันเกิดไม่ตรงกันเลย

 

```
=1-PERMUT(365,30)/365^30
=70.63 %
```

 

ดังนั้นไม่ใช่เรื่องแปลกเลยที่นักเรียนในห้องเดียวกันมักจะมีอย่างน้อย 1 คนที่มีวันเกิดเดียวกันครับ

 

ถ้าลองเอาไป Plot กราฟใน Excel ก็จะได้ประมาณนี้

 ![ความน่าจะเป็น Probability](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/birthday-theppexcel-1024x509.png) 

## ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสำรับไพ่เพื่อเรียนรู้ความน่าจะเป็น

 

ในตัวอย่างหลายๆ อันในนี้จะมีการพูดถึงไพ่ โดยไพ่มาตรฐานจะมีลักษณะดังนี้ (แต่คิดว่าหลายๆ คนคงรู้จักไพ่อยู่แล้วเนอะ 555)

 
- ไพ่ 1 สำรับมี 52 ใบ (ไม่เอา Joker)
- ประกอบด้วย 4 ชุด คือ ดอกจิก (clubs) ,โพธิ์ดำ (spades), ข้าวหลามตัด (diamonds), โพธิ์แดง หรือหัวใจ (hearts)
- โดยที่ 2 ชุดแรกสีดำ, 2 ชุดหลังสีแดง (พูดง่ายๆ คือมีดำครึ่งนึง แดงครึ่งนึง)
- แต่ละชุดมีไพ่ 13 ใบ คือ Ace, เลข 2-10, และอีก 3 หน้า แจค (jack), แหม่ม (queen), คิง (king)
- ผมทำเป็นภาพสรุปไว้ให้ดังนี้

 ![8](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/cards-1024x576.jpg) 

### การคำนวนความน่าจะเป็น (หรือใช้กับกฎการนับก็ได้) เมื่อมีเหตุการณ์มากกว่า 1 เหตุการณ์

 

#### แบบเกิดอย่างน้อยเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง (Union=OR)

 ![5](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/union2.jpg) 
- **หลักการคือเอาความน่าจะเป็นมารวมกัน** แค่ว่าระวังว่าการรวมนั้นจะทำให้เบิ้ลหรือไม่ เช่น
- **กรณีที่เหตุการณ์ทั้งสองอย่างไม่สามารถเกิดพร้อมกันได้ (เรียกว่า Mutually Exclusive)** 
    - เมื่อไม่มีส่วนซ้ำ ก็จะบวกกันตรงๆ ได้เลย
  
  
    - P (E U F) = P(E) + P(F)
- **กรณีเหตุการณ์ทั้งสองอย่าง สามารถเกิดพร้อมกันได้**
    - เพราะ E และ F มีส่วนซ้ำกัน ทำให้ถ้าบวกตรงแล้วเราจะนับเบิ้ลไป 1 ที จึงต้องเอาส่วนที่ซ้ำกันออกไป 1 ที (ให้หายเบิ้ล)
  
  
    - P (E U F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
    - ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าเป็น Mutually Exclusive แล้ว P(E ∩ F) จะเท่ากับ 0 ทำให้ได้สูตรข้างบนนั่นเอง

 

#### แบบต้องเกิดทั้ง 2 เหตุการณ์ (Intersect=AND)

 ![6](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/intersect2.jpg) 
- **หลักการคือเอาความน่าจะเป็นมาคูณกัน** เหมือนกับกฏการนับทั่วไปเลย ซึ่งขึ้นกับว่าเมื่อเกิดเหตุการณ์แรกไปแล้วเหตุการณ์ที่ 2 ที่จะเกิดขึ้นนั้น มีความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปหรือไม่ ? ถ้าไม่เปลี่ยนก็ใช้ตัวเดิม (เรียกว่า Independent) ถ้าเปลี่ยน (เรียกว่า Dependent) ก็ต้องแก้ความน่าจะเป็นให้สอดคล้องกับความเป็นจริงนั้นๆ
- **กรณีเหตุการณ์ทั้งสองไม่ขึ้นต่อกัน (**Independent****)** **
    - เช่น หาความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญ 2 ครั้งแล้วออกหัวทั้ง 2 ครั้ง จะได้ว่า
    - เรามีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น 2 อัน คือ E = การโยนเหรียญครั้งแรกได้หัว , F = การโยนเหรียญครั้งที่สองได้หัว
    - P(E) = P(ออกหัว) = 0.5
    - P(F) = P(ออกหัว) = 0.5
    - P(E ∩ F) = ความน่าจะเป็นที่ครั้งแรกและครั้งที่สองออกหัว = P(E) × P(F) = 0.5 x 0.5 = 0.25
- **กรณีที่เหตุการณ์นั้นขึ้นต่อกัน (Dependent**) : 
    - เช่น หาความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ Q 2 ครั้งติดกัน โดยไม่มีการใส่ไพ่คืน (การจั่วครั้งแรกมีผลต่อครั้งที่สองแน่นอน)
    - เรามีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น 2 อัน คือ E = การจั่วครั้งแรกได้ Q, F = การจั่วครั้งที่สองได้ Q
    - ซึ่งความน่าจะเป็นของการจั่วได้ Q = 4/52 (เพราะในไพ่ 52 ใบ นั้นมี Q 4 ตัว)
    - ดังนั้น P(E) = P(จั่วได้ Q) = 4/52 อันนี้ไม่มีอะไรแปลก
    - แต่สำหรับการจั่วครั้งที่สอง เราจะใช้ P(จั่วได้ Q) ซึ่งคือ ความน่าจะเป็นของการจั่วได้ Q เฉยๆ ไม่ได้ เพราะในความเป็นจริงโอกาสในการได้ Q ในครั้งที่สองมันเปลี่ยนไปแล้ว เป็น 3/51 (เพราะเหลือ Q3 ใบ จากไพ่ที่เหลือ 51 ใบ)
    - เราเรียกความน่าจะเป็นของการจั่ว Q ในครั้งที่สอง (ที่เปลี่ยนไปจากการจั่ว Q ไปครั้งแรกสำเร็จแล้ว)   
      ว่า P(จั่วQครั้งสอง | จั่ว Q ครั้งแรก) ซึ่งมีชื่ออย่างเป็นทางการว่า** Conditional Probability** นั่นเอง ในที่นี้ผมใช้ว่า P(F|E)
  
  
    - สูตรคือ P(E ∩ F) = P(E) × P(F|E)
    - สรุปแล้ว P(E ∩ F) = ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ได้ Q 2 ครั้งติดกัน = P(E) × P(F|E) = 4/52 * 3/51 = 0.004525 หรือ 0.45% นั่นเอง
    - หากจริงๆ แล้วเหตุการณ์ E กับ F ไม่ขึ้นต่อกัน จะทำให้ P(F|E) เท่ากับ P(F) เฉยๆ 
          - ทำให้ P(E ∩ F) = P(E) × P(F) เท่ากับกรณี Independent นั่นเอง

 

#### **ตัวอย่าง 1 :** จั่วไพ่ J Q K และสีดำ

 

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ จงหาโอกาสที่จะได้ไพ่ที่เป็นหน้า J Q K และมีสีดำ?

 
1. trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ
2. sample space = ไพ่ 52 ใบ ที่มีความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบเท่าๆ กัน
3. event = ไพ่ J, Q, K ที่มีสีดำ (ดอกจิก ไม่ก็โพธิ์ดำ) จึงมีที่ตรงตามต้องการแค่ 6 ใบ
4. probability = 6/52 = 0.1154 =11.54%

 

***หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า***

 

เนื่องจากทั้งสองอัน independent กัน P(JQK ∩ ดำ) = P(JQK) x P(ดำ)

 

```
= 12/52  x 1/2  = 6/52 = 0.1154 =11.54%
```

 

#### **ตัวอย่าง 2 :** จั่วไพ่ J Q K หรือไพ่สีดำ

 

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ จงหาโอกาสที่จะได้ไพ่ที่เป็นหน้า J Q K หรือไพ่สีดำ?

 
1. trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ
2. sample space = ไพ่ 52 ใบ ที่มีความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบเท่าๆ กัน
3. event = ไพ่ J, Q, K 12 ใบ หรือ ไพ่ที่มีสีดำ 26 ใบ ก็ตรงตามต้องการ เนื่องจากทั้ง 2 เหตุการณ์มีส่วนซ้ำกันได้ทำให้ต้องหัก ไพ่ JQK ที่มีสีดำออก (มี6 ใบจากที่คิดในคำถามแรก) ทำให้เหลือไพ่ที่ตรงความต้องการ = 12+26-6 = 32 ใบ
4. probability = 32/52 = 0.615

 

***หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า***

 

กัน P(JQK U ดำ) = P(JQK) + P(ดำ) – P(JQK ∩ ดำ)

 

```
= 12/52  +   26/52  –  6/52  = 0.615
```

 

### สิ่งที่ได้จากการเขียนความสัมพันธ์ Conditional Probability

 

```markdown
P(E ∩ F) = P(E) × P(F|E)
```

 

หลักการของ Conditional Probability ข้างบนนี้ไม่มีอะไรเลย จริงๆ มันก็คือการบอกว่า

 

ความน่าจะเป็นของการเกิดทั้งเหตุการณ์ E และ F ทั้งคู่   
= ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E * ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ F หลังจากเกิด E ขึ้นแล้ว

 

ซึ่งมันก็คือการใช้ Common Sense ทั่วไปนั่นแหละ จริงมะ?

 

แต่เรื่องของเรื่องคือ เมื่อเรานำมันมาจัดเรียงใหม่ นำมาดัดแปลงมุมมองเล็กน้อย เราจะได้ทฤษฎีที่ทรงพลังมากที่สุดอันนึงของเรื่อง Probability นั่นก็คือ Bayes’s Theorem นั่นเอง

 

## Bayes’ Theorem

 

ก่อนที่ผมจะอธิบายว่า Bayes’ Theorem คืออะไร? ผมจะยกตัวอย่าโจทย์ปัญหาที่ Bayes’ Theorem สามารถช่วยหาคำตอบได้ง่ายกว่าการใช้ Common Sense ทั่วไป

 

### ****สถานการณ์ คือ****

 

มีโหล 2 โหล คือ โหล ก กับ ข แต่ละโหลใส่ลูกบอลสีแดงกับเขียวปนกัน

 
- โหล ก มี 4 ลูก โอกาสได้บอลแดง 50%
- โหล ข มี 10 ลูก โอกาสได้บอลแดง 30%

 

มีคนสลับโหลไปๆ มาๆ แล้วให้คุณหลับตาแล้วหยิบลูกบอลมั่วขึ้นมาลูกนึง ปรากฏว่าได้บอลสีแดง ถามว่า**โอกาสที่คุณหยิบบอลมาจากโหล ข เป็นกี่ %**

 

คุณคิดด้วย Common Sense ได้หรือไม่?? ถ้าคุณเริ่มงง ลองมาดูต่อ

 

การตีโจทย์ หากเราสามารถวาดรูปออกได้จะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเยอะ

 ![ความน่าจะเป็น Probability](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/bayes-02.png) 

สิ่งที่ต้องการหา สามารถเขียนได้ในรูปของ Conditional Probability คือ **P(หยิบจากโหล ข | ได้สีแดง) ซึ่งหายากกว่าในทิศกลับกันมาก นั่นคือ P(ได้สีแดง | หยิบจากโหล ข)** ซึ่งรู้อยู่แล้วว่าคือ 30%

 

นี่แหละที่เจ้า Bayes’s Theorem เริ่มมีประโยชน์ในการเข้ามาช่วยครับ มันเจ๋งตรงที่มันใช้ความน่าจะเป็นในทิศกลับกันมาช่วยหาได้

 

### ทฤษฎี

 

ทีนี้เรามาดูกันว่าเจ้า Bayes’s Theorem เค้าบอกว่ายังไง

 ![11](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/bayes-formula.png) 

ซึ่งจริงๆ แล้วเป็นสูตรที่ Make Sense มากๆ หากลอง พิจารณาจากความรู้เรื่อง Conditional Probability ที่ว่า

 

```
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
```

 

ดังนั้นสูตรข้างบนมันก็คือ

 

```markdown
P(A | B) = P (A ∩ B) / P(B)
```

 

หากพิจารณาจาก Venn Diagrams จะเข้าใจง่ายมาก ว่าทำไมสูตรถึงออกมาแบบนั้น

 

ซึ่งแปลว่า ความน่าจะเป็นของ A หลังจากเกิด B แล้ว เท่ากับ ความน่าจะเป็นของการเกิดทั้ง A และ B หารด้วย ความน่าจะเป็นของ B นั่นเอง

 ![12](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/conditionalprobability.jpg) 

### แก้โจทย์ปัญหา

 ![13](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/bayes-formula.png) 

P(หยิบจากโหล ข | ได้สีแดง) = P(ได้สีแดง | หยิบจากโหล ข) * P(หยิบจากโหล ข) / P (ได้สีแดง)

 ![14](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/bayes-02.png) 
- P(ได้สีแดง | หยิบจากโหล ข) คือ 3/10 อันนี้ง่ายมาก
- P(หยิบจากโหล ข) = 10/14 เพราะมีบอลจากโหล ข 10 ลูก จากบอลทุกโหล 14 ลูก
- P(ได้สีแดง) = ถ้านับเอาเราจะได้ 5/14 ซึ่งง่ายๆ เนอะ

 

**แต่ถ้าในความจริงเรานับชิ้นไม่ได้ เช่นโจทย์อาจบอกมาเป็น Portion แบบไม่ได้เป็นเลขดิบ ก็สามารถคิด P(ได้สีแดง) ได้อยู่ดี** แต่เดี๋ยวไว้ดูแนวทางในตัวอย่างข้อหลังๆ นะ

 

**สรุป :** P(หยิบจากโหล ข | ได้สีแดง)

 

```markdown
= (3/10) * (10/14) / (5/14)   =  ( 3/14 ) / (5/14)  หรือ 3/5 นั่นเอง
```

 

**ซึ่งถ้าดูจากรูปนี่โคตร Make Sense **เพราะจากสีแดงทั้งหมดที่มี 5 ลูก มันอยู่ที่ โหล ข 3 ลูก นั่นเอง!! (สูตรมันหมายความงี้เองเรอะ!)

 ![15](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/bayes-03.png) 

### **ตัวอย่างโจทย์**

 

#### ตัวอย่าง 1 : ผู้ติดเชื้อ Covid

 

จาก Data ของผู้ติดเชื้อ Covid-19 เมื่อวันที่ 13 มิย. 63 ผมลอง Pivot ข้อมูลออกมาได้ดังตาราง

 

|   |   |   |   |
| --- | --- | --- | --- |
| Count of no | Province |  |  |
| sex | กทม | ต่างจังหวัด | Grand Total |
| ชาย | 813 | 911 | 1724 |
| หญิง | 725 | 685 | 1410 |
| Grand Total | 1538 | 1596 | 3134 |

 

สมมติผมสุ่มคนออกมาคนนึงปรากฏว่าได้เป็นผู้ชาย จงหาความน่าจะเป็นที่คนคนนั้นจะเป็นคน กทม.

 

ถ้าเราเห็นเลขทุกตัวครบแล้ว จริงๆ มันง่ายมาก เพราะ P(กทม|ชาย) ก็คือ = 813/1724 = 47.16% ได้เลย (ก็ชายทั้งหมด 1724 คน เป็น กทม 813 คนไง)

 

**แต่ถ้าจะใช้สูตรจาก Bayes ก็จะเป็นดังนี้**

 

```markdown
P(กทม|ชาย) = P(ชาย ∩ กทม) / P(ชาย)
```

 
- P(ชาย ∩ กทม) = 813/3134
- P(ชาย) = 1724/3134
- P(กทม|ชาย) = 813/1724 นั่นเอง

 

หรือจะมองอีกแบบก็ยังได้

 

```markdown
P(กทม|ชาย) = P(ชาย|กทม) * P(กทม) / P(ชาย)
```

 

```
=(813/1538) * (1538/3134) / (1724/3134)
=813/1724 = 47.16% อยู่ดี
```

 

**ถ้าเราได้ Data มาเป็น Portion ของ Grand Total แบบนี้** ก็สามารถคิดได้เช่นกัน

 

|   |   |   |   |
| --- | --- | --- | --- |
| Count of no | Province |  |  |
| sex | กทม | ต่างจังหวัด | Grand Total |
| ชาย | 25.94% | 29.07% | 55.01% |
| หญิง | 23.13% | 21.86% | 44.99% |
| Grand Total | 49.07% | 50.93% | 100.00% |

 

```markdown
P(กทม|ชาย) = ภายในชาย ให้ดูเฉพาะ กทม. 
= 25.94% / 55.01% = 47.16%
```

 

ดังนั้นจะเห็นได้ว่า**หากเราเห็นภาพของข้อมูลครบถ้วนด้วยตารางแบบนี้นะ ทุกอย่างมันจะง่ายขึ้นมากๆ เลย**

 

#### **ตัวอย่าง 2** : จั่วไพ่

 

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ แล้วเป็นสีดำ จงหาโอกาสที่มันจะเป็นไพ่ดอกจิก

 
1. trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ
2. sample space หลังจากการรู้ว่าเป็นสีดำ= ไพ่สีดำ มี 26 ใบ
3. event = ได้ไพ่ดอกจิก
4. probability = 13/26 = 0.5

 

***หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า***

 

```markdown
P(ดอกจิก | ไพ่ดำ) = P(ดอกจิก ∩ ไพ่ดำ) / P(ไพ่ดำ) 
= P(ดอกจิก) / P(ไพ่ดำ) = 0.25 / 0.5 = 0.5 = 50%
```

 

#### ตัวอย่าง 3 : สาวสวยแปลงเพศ

 

**สถานการณ์คือ** คุณกับเพื่อนเดินไปเจอสาวสวยคนหนึ่ง ช่างเป็นสาวที่ตรง Spec ของคุณ จนอยากจะเข้าไปขอ ID Line เดี๋ยวนี้เลย แต่แล้วเพื่อนของคุณทักขึ้นมาว่า เดี๋ยวนี้ผู้หญิงสวยๆ อาจจะเป็นผู้ชายที่แปลงมาก็ได้… ตอนนี้คุณเริ่มลังเล และอยากจะ**หาความน่าจะเป็นที่สาวสวยที่คุณเจอจะเป็นผู้ชายแปลงเพศมา**!

 

ความน่าจะเป็นที่คนที่คุณเจอจะเป็นผู้ชายแปลงเพศ เมื่อรู้แล้วว่าเป็นคนสวย สามารถเขียนได้ว่า = P(เจอผู้ชายแปลงเพศ|เจอคนสวย)

 

จาก Bayes จะได้ว่า

 

```
P(เจอผู้ชายแปลงเพศ|เจอคนสวย) = P(เจอคนสวย|เจอผู้ชายแปลงเพศ) * P(เจอผู้ชายแปลงเพศ) / P(เจอคนสวย)
```

 

สมองของคุณ**เริ่มเดาๆ ตัวเลข**ที่เกี่ยวข้องออกมาได้ ดังนี้ (เดาผิดอย่าว่ากัน assume ว่าไม่มีตัวเลขที่ดีกว่านี้แล้ว)

 
- โอกาสที่ผู้ชายแปลงเพศแล้วจะสวย = P(คนสวย|ผู้ชายแปลงเพศ) = 60%
- โอกาสที่จะเจอผู้ชายแปลงเพศ =P(ผู้ชายแปลงเพศ) = 5%
- โอกาสที่จะเดินเจอคนสวย = P(เจอคนสวย) = 20%

 

```markdown
P(ผู้ชายแปลงเพศ|คนสวย) = 60% * 5% / 20% = 15% นั่นเอง
```

 

สรุปแล้ว คุณก็เลยตัดสินใจไปหาสาวสวยคนนั้น เพราะโอกาส 15% ก็ไม่ใช่น้อยๆ นะที่คุณจะได้เจอคนที่ตามหามานาน (อ้าว 555)

 

#### ตัวอย่าง 3 : ดักจับ Spam

 

อยากหาโอกาสที่ใน Email ที่ส่งมาจะเป็น Spam เมื่อเจอคำว่า Viagra อยู่ในข้อความ Email

 

นั่นคืออยากหา P(Spam|Viagra) ซึ่งเราเขียนสูตรได้ดังนี้

 

```markdown
P(Spam|Viagra) = P(Viagra|Spam) * P(Spam) / P(Viagra)
```

 

สมมติเราไปเก็บ Data มาแล้วได้ข้อมูลดังนี้

 
- โอกาสที่ข้อความที่รู้ว่าเป็น Spam จะมีคำว่า Viagra อยู่นั้นคือ 70%
- โอาสที่ข้อความที่รู้ว่าไม่ใช่ Spam จะมีคำว่า Viagra อยู่นั้นคือ 10%
- โอกาสที่จะเจอข้อความเป็น Spam =P(Spam) = 80%

 

```markdown
P(Spam|Viagra) = 70%*80% / P(Viagra)
```

 

แล้ว P(Viagra) จะหาได้ยังไง?

 

**ถ้าวาดข้อมูลลงตารางและปรับฐานให้เท่ากันเป็น %of Grand Total ได้ จะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นมากๆ**

 ![16](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2020/06/spam4-1024x462.png) 

จริงๆ แล้วมันก็คือ ช่อง K10 จริงมะ ซึ่งคิดได้แบบนี้

 

```markdown
P(Viagra) = P(Viagra|Spam) * P(Spam)  +  P(Viagra|Not Spam)*P(Not Spam)
```

 

```markdown
P(Viagra) = 70%*80% + 10%*(1-80%) = 58%
```

 

สรุปแล้ว

 

```markdown
P(Spam|Viagra) = 60%*80% / 58% = 82.7% นั่นเอง
```

 

และเรื่องแบบนี้แหละซึ่งเค้าเอาไปใช้ในการทำ Machine Learning เพื่อพัฒนา AI ที่ใช้ดัก Spam ด้วย แต่มันจะซับซ้อนกว่านี้เนอะ

 

## แหล่งศึกษาความรู้เพิ่มเติม

 
- [**Math E-Book** ( kanuay.com )](https://kanuay.com/)มีสรุปเนื้อหา math และแบบฝึกหัดให้โหลดฟรี
- [https://www.youtube.com/results?search_query=probability](https://www.youtube.com/results?search_query=probability)
- เดี๋ยวมาเติมให้นะ

 

## ตอนต่อไป

 

เป็นไงบ้างครับกับเนื้อหาความน่าจะเป็นที่ผมเตรียมไว้ให้ ผมพยายามเขียนให้เข้าใจง่ายที่สุดเท่าที่ทำได้แล้ว หวังว่าจะพอเข้าใจนะครับ แต่ถ้าไม่เข้าใจอะไรตรงไหนก็ Comment ถามมาได้เลยนะ

 

เดี๋ยวตอนต่อไปจะเป็นเรื่องของ **[Discrete Probability Distribution](https://www.thepexcel.com/stats-03-discrete-probability-distribution/)** หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบที่เหตุการณ์ที่สนใจนั้นสามารถนับแยกเป็นชิ้นๆ ได้(ไม่ได้มีค่าต่อเนื่องกัน)

 

## สารบัญซีรีส์ Statistics

---

_Source: [https://www.thepexcel.com/stats-02-probability/](https://www.thepexcel.com/stats-02-probability/)_