---
title: เข้าใจฟังก์ชันกำลังสอง ด้วยกราฟ พาราโบลา
url: https://www.thepexcel.com/understand-quadratic-function-parabola/
type: post
date: 2025-10-13
updated: 2025-12-22
author: Sira Ekabut
categories: [Statistics and Maths, Excel]
tags: [SQRT, LEFT]
---

# เข้าใจฟังก์ชันกำลังสอง ด้วยกราฟ พาราโบลา

หลายๆ คนคงเคยเห็นสูตรที่เอาไว้แก่สมการกำลังสองเพื่อหาค่า x

 

โดยที่หากเราจัดสมการให้อยู่ในรูปแบบ

 

```
y=ax^2+bx+c
```

 

แล้วถ้าเราจัดเพื่อแก่สมการหาค่า x ที่ทำให้ y =0 เราจะได้ว่า

 

```
x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
```

 

ซึ่งหลายๆ คนมองเหมือนว่ามันเป็นสูตรวิเศษที่เอาไว้ท่องจำแล้วแทนค่าอย่างเดียว แต่จริงๆ แล้วมันมีความหมายและที่มาที่ไปที่ควรจะรู้ไว้ด้วยนะ

 

ก่อนอื่นต้องบอกว่า การจะแก้สมการได้นั้นมี 2 วิธีใหญ่ๆ คือ

 
1. แยกตัวประกอบ
2. ใช้สูตร

 

## วิธีแยกตัวประกอบ

 

โดยหลักการถ้าอะไรที่แยกตัวประกอบได้เลย มันก็สามารถคิดเลขในใจได้ง่าย

 

สมมติโจทย์ คือ

 

```
2x^2+10x-12 = 0
```

 

แบบนี้เราควรทำให้อยู่ในรูปแบบง่ายสุดก่อน เช่น หาร 2 ทั้งหมด ก็จะได้ว่า

 

```
x^2+5x-6 = 0
```

 

**จากนั้นก็ดูว่า เลข 2 ตัวอะไรเอ่ย? คูณกันได้ -6 แต่บวกกันได้ 5 **

 
- ลองแยกตัวประกอบ -6 ก็ จะมี -1×6, 1x-6 ไม่ก็ -2×3, 2x-3
- ดังนั้นในเคสนี้ต้องเลือก -1 กับ 6 อ่ะนะ

 

ทำให้แยกได้แบบนี้

 

```
(x-1)(x+6) = 0
```

 

นั่นคือ การที่มันจะเป็น 0 ได้ แสดงว่าแต่ละก้อนเป็น 0 นั่นคือ

 
- x-1 =0 ทำให้รู้ว่า x= 1
- x+6 =0 ทำให้รู้ว่า x= -6

 

## วิธีใช้สูตร

 

ถ้าเขียนสูตร Excel หรือเขียน Code ก็จะใช้วิธีที่สองง่ายกว่ามานั่งแยกตัวประกอบ (เพราะมันคำนวณออกมาได้เลย)

 

```
x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
```

 

เช่น ถ้าเราใช้ Excel กรอกสูตรนี้เข้าไปก็ชิลๆ เลย

 

```
x1 =(-B3-SQRT(B3^2-4*A3*C3))/(2*A3)
x2 =(-B3+SQRT(B3^2-4*A3*C3))/(2*A3)

โดยที่ A3=a, B3=b, C3=c ของสมการ
```

 ![1](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-00x2-1.png) 

คำตอบก็จะออกมาเป็น x=-6 กับ x=1 เช่นกัน ลองทำเป็นกราฟก็ยิ่งชัด ว่ามันคือจุดที่กราฟตัดแกน x ซึ่งในที่นี้มีสองจุด

 

ถ้าเพื่อนๆ ขี้เกียจสร้างกราฟใน Excel ก็ลองใช้ [Tools ของ web นี้ได้ครับ](https://www.desmos.com/calculator/dz0kvw0qjg) ดีเลย

 

[![2](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-000-1024x666.png)](https://www.desmos.com/calculator/dz0kvw0qjg)

 

แต่ถ้าเรารู้ที่มาของมันซักหน่อยน่าจะดีกว่าครับ เผื่อเอาไว้อธิบายลูกหลานได้ด้วย

 

### Standard Form

 

จริงๆ สมการมหัศจรรย์ มันก็เกิดจาก การจัดสมการพาราโบล่านี่แหละ ซึ่ง **พาราโบลาในรูปมาตรฐาน** (Standard Form) มีสมการดังนี้

 

```
y = ax^2 + bx + c
```

 

การจะแก้สมการหาค่า x ที่ทำให้ y เป็น 0 เราก็เลยเขียนได้ว่า

 

```
ax^2 + bx + c = 0
```

 

แล้วพยายามจัดรูป

 

```
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
```

 

พยายามให้อยู่ในรูปแบบกำลังสองสมบูรณ์

 

```
\left[ x^2 + 2x\left(\frac{b}{2a}\right) + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right]
- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0
```

 

```
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0
```

 

```
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0
```

 

ในที่สุดเราจะได้ค่า

 

```
x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
```

 

แต่ไอ้วิธีพิสูจน์แบบนี้ มันดูทื่อๆ ไป ในความคิดของผม ผมคิดว่า ถ้าเราทำความเข้าใจในแง่ของกราฟมันจะเห็นภาพ และเข้าใจความหมายง่ายขึ้นเยอะ

 

### Vertex Form

 

ซึ่งถ้าเราพยายามจัดกราฟ Parabola ให้อยู่ในรูปแบบ Vertex Form จะเห็นภาพชัดกว่า ซึ่งจะเกี่ยวข้องกับนิยามของ Parabola โดยแท้จริง นั่นก็คือ

 

```
พาราโบลา คือเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่มีระยะจากจุด Focus เท่ากับระยะจากเส้นตรง Directrix
```

 

[![3](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabolagraph-02.png)](https://mathbitsnotebook.com/Geometry/Equations/EQParabola.html)

*https://mathbitsnotebook.com/Geometry/Equations/EQParabola.html*
 

โดยที่ระยะห่างจาก Vertex (จุดยอดกราฟ) ไปถึงจุด Focus จะเรียกว่า p (ดังนั้นจาก Vertex ไปเส้น directrix ก็จะยาว p ด้วย)

 

เรามักจะเขียนกราฟ Parabola ให้อยู่ในรูปแบบนี้

 

ถ้าเราให้ h,k คือ พิกัดของจุดยอด Vertex ของกราฟพาราโบล่า จะทำให้เรารู้ตำแหน่ง Focus และสมการของ Directrix ไปด้วย

 
- **vertex** = (h,k)
- **แกนสมมาตร** คือ x=h
- **focus** ต้องเลื่อนขึ้นไปอีก p (จาก k) ทำให้ได้เป็น (h, k+p)
- **directrix **ต้องลงมาอีก p (จาก k) ทำให้ y=k-p

 ![4](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabolagraph-03.png)
*https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-interactive-geometry-for-ccss/section/10.3/primary/lesson/equations-of-parabolas-geo-ccss/*
 

ทั้งหมดทำให้เขียนสมการอยู่ในรูปแบบนี้ได้

 

```
(x - h)^2 = 4p(y - k)
```

 

หรือถ้าย้ายข้างให้ y อยู่ข้างเดียวได้ว่า

 

```
(y−k)=\frac{1}{4p}(x−h)^2
```

 

สามารถดูการ[พิสูจน์โดยใช้หลักการเรื่องระยะห่างเส้นตรงเท่ากันได้ที่นี่](https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-interactive-geometry-for-ccss/section/10.3/primary/lesson/equations-of-parabolas-geo-ccss/)

 

### แล้ว Vertex Form มันไปเกี่ยวกับ Standard Form ยังไง?

 

ตอนนี้เรารู้แล้วว่า กราฟพาราโบล่าสามารถเขียนได้ในรูปแบบ Vertex Form แล้วมันกลับไปผูกกับรูปแบบ Standard Form ยังไง? มาดูกันทีละขั้นตอน

 

สมการตอนแรกจะเป็น

 

```
(y−k)=\frac{1}{4p}(x−h)^2
```

 

หรือ

 

```
y=\frac{1}{4p}(x−h)^2 + k
```

 

ซึ่งหน้าตาเหมือนกับ

 

```
y= ax^2+bx+c
```

 

ดังนั้น เราจะเทียบหาค่า a ได้เลย

 

```
a=\frac{1}{4p}
```

 

หรือเราจะเขียน Vertex Form แบบที่มี a แทน p ก็ได้

 

```
y=a(x−h)^2 + k
```

 

---

 

## ความหมายของ a,b,c

 

### **a = ตัวกำหนด “ความโค้ง” และ “ทิศทาง”**

 

y= ax^2

 
- ถ้า a>0 → พาราโบลาหงายขึ้น
- ถ้า a=0 → กลายเป็นกราฟเส้นตรงแบนราบ (ไม่ใช่พาราโบล่า)
- ถ้า a<0 → พาราโบลาคว่ำลง 
    - ถ้า a ติดลบ p ก็จะติดลบ ทำให้ จุด focus มันมาอยู่ข้างล่างของ vertex นั่นเอง
- ยิ่ง |a| มาก → กราฟจะแคบลง
- ยิ่ง |a| เล็ก → กราฟจะกว้างออก

 ![5](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-01x-1024x435.png) 

**สรุปง่ายๆ:** a คุม “รูปร่าง” ของพาราโบลา อันนี้น่าจะเข้าใจง่าย จำง่ายนะครับ

 

---

 

ต่อไป มาดูตัว b กับ c กันต่อ

 

จาก

 

```
y=a(x−h)^2+k
```

 

ถ้าเรากระจายออกมา จะได้ว่า

 

```
y = a(x^2-2hx+h^2) + k
```

 

จัดกลุ่มยกกำลัง

 

```
y=ax^2−2ahx+(ah^2+k)
```

 

แบบนี้แปลว่า

 

```
b=-2ah
```

 

```
c=ah^2+k
```

 

ทำให้มองในทางกลับกันได้ว่า

 

```
h=\frac{-b}{2a}
```

 

```
k=c−\frac{b^2​}{4a}
```

 

ถ้าพิจารณาแบบนี้

 

### **b = ตัวที่มีผลในการเลื่อนแกนซ้ายขวา**

 

โดยทิศทางของ b ตรงข้ามค่าของ a

 
- **ถ้า a เป็น +** : ยิ่ง b มาก = x เลื่อนซ้าย (h ติดลบเยอะ)
- **ถ้า a เป็น –** : ยิ่ง b มาก = x เลื่อนขวา (h + มาก)
- **ถ้า b เป็น 0** จะทำให้ h = 0 (แกนสมมาตรอยู่เส้นดิ่งตรงกลาง)

 ![6](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-02x-1024x418.png) 

### **c = ตัวที่เลื่อนกราฟขึ้นลง และเป็นตัวกำหนด “จุดตัดแกน y” ด้วย**

 

ส่วนตัว c นั้นพิจารณาง่าย เพราะ จาก

 

```
y = ax^2 + bx + c
```

 

ค่า c มันจะ adjust กราฟให้สูงขึ้น หรือ ต่ำลง (เพราะมัน + – ค่าเข้าไปให้ y ทื่อๆ เลย)

 
- **ถ้า c เป็น +** : กราฟเลื่อนขึ้น
- **ถ้า c เป็น –** : กราฟเลื่อนลง

 

และถ้าเรา set ให้ x เป็น 0 ค่า c จะ บอกได้เลยว่ากราฟ “ตัดแกน y” ที่ตรงไหน

 

ดังนั้น **c = ตัวที่เลื่อนกราฟขึ้นลง และเป็นตัวกำหนด “จุดตัดแกน y” ด้วย **

 

จะเห็นว่าค่า c จะกำหนดจุดตัดแกน y เสมอ

 

ถ้า a=1, b = 0 (เหลือแค่ y= x^2 + c)

 ![7](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-03-1024x451.png) 

แม้ว่า ถ้า a=1, b = 4 (กราฟเลื่อนมาซ้าย เพราะ a เป็นบวก b เป็นบวก)

 ![8](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-03b4-1024x453.png) 

หรือ ถ้า a=1, b = -4 (กราฟเลื่อนมาขวา เพราะ a เป็นบวก b เป็นลบ)

 ![9](https://www.thepexcel.com/wp-content/uploads/2025/10/parabola-03b-4-1024x454.png) 

## ถ้ามองกลับกัน

 

จาก standard form

 

```
y=ax^2+bx+c
```

 

หากเราใช้ calculus (ถ้าใครยังไม่ได้เรียนไม่ต้องซีเรียส) หาจุดต่ำสุดสูงสุด โดยหา dy/dx ซึ่งคือความชัน โดยตั้งให้ =0 เพื่อหาจุดสูงสุด/ต่ำสุด

 

```
2ax+b=0
```

 

ดังนั้น

 

นี่แหละคือพิกัด x ของจุดยอด (vertex) หรือค่า h นั่นเอง

 

```
h = x = \frac{-b}{2a}
```

 

แทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม เพื่อหาค่า y ของ vertex

 

**แทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม เพื่อหาค่า y**

 

```
y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
```

 

```
y = \frac{4ac - b^2}{4a}
```

 

หรือเขียนอีกแบบว่า

 

```
y = k = c - \frac{b^2}{4a}
```

 

## ลองพิจารณาความหมายของการแก้สมการ

 

จาก

 

```
(x - h)^2 = 4p(y - k)
```

 

ถ้าเราหาค่า x ที่ทำให้ y เป็น 0 ดังนั้นเราแทนค่า y= 0 ลงไป

 

```
(x - h)^2 = -4pk
```

 

ย้ายข้างให้เหลือ x ตัวเดียว

 

```
x=h±\sqrt{-4pk}
```

 

ดังนั้นคำตอบของกราฟ Parabola มีแกนสมมาตรอยู่ที่ x=h แล้วแผ่ขยายออกไปข้างๆ ด้วยขนาด sqrt(-4pk)

 

ซึ่งเราถอดรากจริงได้เฉพาะเมื่อค่าข้างในรูท ≥ 0

 

ดังนั้น:

 
- ถ้า p>0 (พาราโบลาหงายขึ้น) → ต้องมี k≤0 (จุดยอดอยู่ต่ำ) ถึงจะตัดแกน x ได้
- ถ้า p<0 (พาราโบลาคว่ำลง) → ต้องมี k≥0 (จุดยอดอยู่สูง) ถึงจะตัดแกน x ได้

 

ซึ่งสอดคล้องกับภาพที่ vertex อยู่เหนือหรือใต้แกน x พอดี

 

ถ้าเขียนในรูปของ a,b,c คือ

 

```
h = \frac{-b}{2a},-4p = \frac{-1}{a},k=c-b^2/4a
```

 

จัด k ดีๆ

 

```
-4p = \frac{-1}{a},k =\frac{4ac - b^2}{4a}
```

 

คำนวณ -4pk

 

```
-4pk = \frac{b^2-4ac}{4a^2}
```

 

```
\sqrt{-4pk} = ระยะจากจุดกึ่งกลาง = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
```

 

```
จุดกลางแกนสมมาตร = \frac{-b}{2a}
```

 

x = จุดกลาง ± ระยะจากแกนสมมาตร

 

```
x=\frac{-b}{2a}±\frac{\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
```

 

สุดท้ายมันก็มองเป็นสมการมหัศจรรย์ได้นั่นเอง

 

```
x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
```

 

## สรุป

 

### สรุปสมการ parabora

 

**standard form**

 

```
y=ax^2+bx+c
```

 

**vertex form**

 

```
(x - h)^2 = 4p(y - k)
```

 

```
y = a(x - h)^2 + k
```

 

### สรุปแต่ละสัญลักษณ์:

 

| ตัวแปร | บอกอะไร | สูตรเทียบกับอีกตัว |
| --- | --- | --- |
| **a** | ทิศทางและความโค้ง (หงาย/คว่ำ, แคบ/กว้าง) | a = 1/(4p)   เฉพาะกรณีกราฟแนวตั้ง |
| **b** | การเลื่อนซ้าย–ขวา | b = -2ah |
| **c** | การเลื่อนขึ้น–ลง    จุดตัดแกน y | c = ah^2+k |
| **h** | ค่า x ของจุดยอด (vertex) | h = -b/2a |
| **k** | ค่า y ของจุดยอด (vertex) | k = c-b^2/4a |
| **p** | ระยะจาก vertex ไป focus | p = 1/(4a)   เฉพาะกรณีกราฟแนวตั้ง |

 

### สรุปแก้สมการ

 

หาค่า x ที่ทำให้ y =0

 

```
x=h±\sqrt{-4pk}
```

 

```
x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
```

 

**จำนวนคำตอบของสมการ**

 

เราสามารถมองได้ว่า ค่าภายในรูท (เรียกว่า Discriminant) คือ ค่าที่ช่วยบอกจำนวนคำตอบของสมการได้

 
- ถ้า > 0 จะทำให้ x มี 2 คำตอบ 
    - กราฟตัดแกน x สองจุด
- ถ้า = 0 จะทำให้ x มีคำตอบเดียว 
    - กราฟสัมผัสแกน x พอดีที่ vertex นั่นคือ x=h หรือ -b/2a
- ถ้า < 0 ระยะเป็นจำนวนจินตภาพ (ไม่จริง) ไม่มีคำตอบที่เป็นเลขจำนวนจริง 
    - กราฟไม่ตัดแกน x นั่นเอง

---

_Source: [https://www.thepexcel.com/understand-quadratic-function-parabola/](https://www.thepexcel.com/understand-quadratic-function-parabola/)_