ThepExcel Logo
  • บทความ
    • Excel
      • Excel ทั่วไป
      • Excel Pivot Table
      • Excel Power Pivot
      • Power Query
      • Excel Array Formula
      • Excel VBA
      • Excel for Business
      • Excel and Maths
      • ฟังก์ชัน Excel ทั้งหมด
    • Power BI
      • Power Query
      • Data Model
      • DAX Formula
      • Power BI Report
    • Coding
      • Excel VBA
      • Python
      • Power Query M Code
    • AI
      • ChatGPT
      • Stable Diffusion
      • MidJourney
    • Highlights : บทความแนะนำ
    • คลิปวีดีโอ
  • อบรม
    • อบรมลูกค้าองค์กร
    • คอร์สออนไลน์ SkillLane
    • แนะนำวิทยากร
    • Excel/Power BI Skill Map
    • Quiz
  • Shop
    • คอร์สออนไลน์
    • สินค้าทั้งหมด
    • หนังสือเล่ม
    • E-Book
    • Cart
  • Download
    • Download ไฟล์จากเทพเอ็กเซล
    • ThepExcel-Mfx : M Code สำเร็จรูป
    • Date Table สำเร็จรูป
    • กราฟ My Skill
    • github.com/ThepExcel
  • รวม Link
    • รวม Link สอน Excel & Power BI ทั้งไทยและเทศ
    • รวม Link สอน Python / Programming
    • หนังสือแนะนำ
    • Facebook ThepExcel
    • YouTube ThepExcel
    • DAX Formatter
  • Contact
    • แนะนำ เทพเอ็กเซล (Thep Excel)
    • แนะนำวิทยากร : อาจารย์ ศิระ เอกบุตร (ระ)
    • นโยบายการคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล (Privacy Policy)
  • Facebook
  • YouTube

Matrix คืออะไร? (กันแน่) : ตอนที่ 1

matrix

Categories 📂

Excel and Matrix

Tags 🏷️

matrix, MMULT

อย่างที่ผมเคยได้อธิบายไปใน Post เก่าๆ เกี่ยวกับการใช้ Matrix ใน Excel มาแล้ว ซึ่งสามารถใช้มันทำหลายๆ เรื่องเช่น แก้สมการ สรุปข้อมูล หรือค้นหาข้อมูลตามเงื่อนไขอะไรบางอย่าง แต่เอาเข้าจริงๆ ผมเองก็ไม่ได้เข้าใจความหมายที่แท้จริงของ Matrix เลยว่ามันคือการทำอะไรกับข้อมูลกันแน่ (รู้แต่ว่ามันต้องทำแบบนี้แบบนั้น นั่นคือรู้แต่เปลือก)

ซึ่งมันการที่เราไม่เข้าใจเรื่องอะไรซักอย่างจริงๆ จะทำให้เราไม่สามารถพลิกแพลงเรื่งนั้นได้เลย และยังจะต้องใช้ความจำเยอะเกินไปอีกด้วย ดังนั้นในบทความนี้จะเป็นเหมือนบันทึกการเรียนรู้ Matrix ของผมเอง ซึ่งก็คิดว่าไหนๆ ก็เรียนรู้แล้ว ก็เอามาแบ่งปันเพื่อนๆ ด้วยเลยละกัน

สารบัญ

  • เรียนไปทำไม?
  • เริ่มจาก Vector ก่อน
    • หลักการพื้นฐานของการคำนวณ Vector
    • Vector ทุกอันสามารถเขียนอยู่ในรูปของ Vector 1 หน่วยพื้นฐานได้
  • Matrix คือ รูปแบบหนึ่งของ Linear Transformation
  • Matrix คูณกับ Matrix คืออะไร?
  • ตอนต่อไป
  • แหล่งเรียนรู้เพิ่มเติม

เรียนไปทำไม?

ถ้าจะบอกว่า Matrix มีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณที่ซับซ้อน ไม่ว่าจะเป็น AI, Computer Graphic, วิศวกรรม, Network Graph ตามที่อธิบายในคลิปนี้

มันก็เป็นเหตุผลที่ดู ok แต่ใช่ว่าคนทั่วไปจะต้องเข้าใจ Matrix นะ เพราะการทำงานในชีวิตจริงของคนทั่วไปมันไม่ได้ใช้เลย (แม้จะบังคับให้เด็กเรียนในสมัยมัธยมก็เถอะ)

ส่วนเหตุผลที่ผมอยากเรียนรู้ Matrix ในตอนนี้ ก็คือ ถ้าเข้าใจมันดูเท่ดี เวลาไปเจอบทความที่ซับซ้อนจะได้อ่านเข้าใจ (มันเป็นเหมือนภาษาอีกภาษานึงที่ถ้าเข้าใจก็เจ๋งดีอ่ะ)

แต่เหตุผลที่สำคัญที่สุด คือ อยากเอาชนะความรู้สึกที่ฝังใจตั้งแต่ตอนเด็กๆ ที่เรียน Matrix ยังไงก็ไม่เข้าใจซักที 555

เริ่มจาก Vector ก่อน

ก่อนที่เราจะเรียนรู้ Matrix ให้เข้าใจแบบเห็นภาพนั้น เราจะต้องเข้าใจเรื่องของ Vector ให้ดีซะก่อนครับ

Vector ในที่นี้คือการบอกทิศทางของลูกศรที่เริ่มจากจุด Originไปยังจุดที่กำหนด เช่น

  • ถ้าเป็น 2 มิติ แกน (x,y) อาจเป็น จาก (0,0) ไปยังจุด (3,5)
  • ถ้าเป็น 3 มิติ แกน (x,y,z) อาจเป็น จาก (0,0,0) ไปยังจุด (3,5,2) เป็นต้น

ซึ่งหลักการของ 2 มิติกับ 3 มิติก็เหมือนๆ กันแหละ แต่ 3 มิติมันซับซ้อนกว่า และวาดรูปประกอบยาก ดังนั้นผมจะยกตัวอย่างแค่แบบ 2 มิตินะครับ ถ้าเข้าใจ2 มิติแล้ว 3 มิติก็ไม่ใช่เรื่องยาก

รูปนี้คือ vector (3,5) นั่นคือ vector ที่เริ่มจากจุด 0,0 แล้วชี้ไปยัง x=3 , y=5

หลักการพื้นฐานของการคำนวณ Vector

  • การบวก Vector จะเปรียบเสมือนเอาลูกศร 2 อันมาต่อกัน แล้วดูว่าสุดท้ายชี้ไปที่จุดไหน Vector ผลลัพธ์จะเริ่มจาก Origin ถึงจุดนั้นๆ
    • vector (a,b) รวมกับ vector (c,d) = vector (a+c,b+d) นั่นเอง
Vector เขียว (3,5) เกิดจาก Vector น้ำเงิน (2,1) + Vector ส้ม (1,4) โดยเปรียบว่าเอา Vector มาต่อลูกศรกันไปจนจบ = Vector (2+1,1+4) นั่นเอง
  • การเปลี่ยนขนาด Vector ด้วยการคูณเลข Scalar : การคูณเลขไปทั้งพิกัด x และ y ของ vector เป็นการทำให้ Vector เปลี่ยนขนาดไป
    • c * vector(a,b) = vector(c*a,c*b) นั่นเอง
    • ถ้าเลขบวก ก็จะอยู่ทิศเดิม
    • ถ้าเลขติดลบ ก็จะเป็นการกลับทิศ
    • ถ้าคูณเลขขนาด >1 ก็จะขยายขนาด
    • ถ้าคูณเลขขนาด <1 ก็จะลดขนาดได้
Vector เขียว (6,10) คือเอา Vector น้ำเงิน (3,5) มา Scale 2 เท่า หรือ = (3*2, 5*2)

Vector ทุกอันสามารถเขียนอยู่ในรูปของ Vector 1 หน่วยพื้นฐานได้

  • ในแกน x จะมี vector i ที่เป็น vector 1 หน่วยที่ชี้ไปทางขวา หรือ (1,0) เป็น vector พื้นฐาน
  • ในแกน y จะมี vector j ที่เป็น vector 1 หน่วยที่ชี้ขึ้นบน หรือ (0,1) เป็น vector พื้นฐาน

แปลว่าถ้าเราพูดถึง vector (3,5) มันก็สามารถบอกได้ว่า

  • มันคือ 3 เท่าของ vector พื้นฐาน i รวมกับ 5 เท่าของ vector พื้นฐาน j ต่อลูกศรกัน
  • หรือ 3i+5j นั่นเอง

Matrix คือ รูปแบบหนึ่งของ Linear Transformation

จริงๆ แล้วเราสามารถมองได้ว่า Matrix คือการเปลี่ยนแปลงแกนอ้างอิงของ Vector 1 หน่วยพื้นฐาน จากการที่ i ชี้ไปที่ (1,0) และ j ชี้ไป (0,1) ให้ชี้ไปที่อื่นแทน (โดยที่ถ้าแกนใหม่มีจุด Origin ที่เดิม และ grid ของแกนใหม่ยังคงเป็นเส้นตรง)

ซึ่ง vector ผลลัพธ์จะถูกแปลงหน้าตาไปตามแกนอ้างอิงใหม่ทันที นั่นคือ มีการ scale ด้วย factor เดิม แต่ใช้แกนใหม่ เช่น

ตัวอย่างที่ 1 : ถ้าเดิมทีเคยมี vector (3,5) อยู่ แล้วเราบอกให้

  • เปลี่ยน vector i จาก (1,0) ให้กลายเป็น (2,0) แทน ขยายขนาดเป็น 2 เท่า
  • vector j คงเดิมที่ (0,1)

แบบนี้ vector ผลลัพธ์ก็จะกลายเป็น Concept นี้

  • 3 เท่าของ i ตัวใหม่ + 5 เท่าของ j ใหม่
  • 3(2,0) + 5(0,1)
  • (6,0) + (0,5) ต่อลูกศรกัน หรือ (6+0,0+5) นั่นเอง
  • ลูกศรที่ชี้ไปพิกัด 6,5 หรือ ยืดยาวไปในแกน x 2 เท่าจากเดิม (ส่วนแกน y สูงเท่าเดิม)

ตัวอย่างที่ 2 : ถ้าเดิมทีเคยมี vector (3,5) อยู่ แล้วเราบอกให้

  • เปลี่ยน vector i จาก (1,0) ให้กลายเป็น (0,1) แทน (หมุนทวนเข็ม 90 องศา)
  • เปลี่ยน vector j จาก (0,1) ให้กลายเป็น (-1,0) แทน (หมุนทวนเข็ม 90 องศา)

แบบนี้ vector ผลลัพธ์ก็จะกลายเป็นแบบนี้

  • 3 เท่าของ i ตัวใหม่ + 5 เท่าของ j ใหม่
  • 3(0,1) + 5(-1,0)
  • (0,3) + (-5,0) ต่อลูกศรกัน หรือ (0-5,3+0) นั่นเอง
  • ลูกศรที่ชี้ไปพิกัด -5,3 หรือ หมุนทวนเข็ม 90 องศาด้วยนั่นเอง

ซึ่งจริงๆ แล้วการบอกให้ vector พื้นฐานเปลี่ยนไป ก็คือการเอา Matrix มาคูณนั่นเอง

  • โดยฝั่งซ้ายของ Matrix คือทิศทางใหม่ของ vector i
  • โดยฝั่งขวาของ Matrix คือทิศทางใหม่ของ vector j

เช่น การเปลี่ยน vector i จาก (1,0) ให้กลายเป็น (2,0) ส่วน vector j คงเดิมที่ (0,1) สามารถแทนด้วย Matrix นี้

ดังนั้นในตัวอย่างแรก เราสามารถเอา Matrix ดังกล่าว มาคูณกับ Vector เดิมคือ 3,5 จะได้ผลลัพธ์เป็น 6,5 ดังนี้ได้เลย มีความหมายเหมือนกัน แต่ทำใน Excel ง่ายมาก เพราะใช้ MMULT ได้เลย

Matrix

ในตัวอย่างที่สอง เราสามารถเอา Matrix มาคูณกับ Vector เดิมคือ 3,5 จะได้ผลลัพธ์เป็น -5,3 ดังนี้

ถ้าลองใส่เลขให้เห้นชัดๆ ว่าเวลาเอา Matrix มาคูณ Vector เป็นยังไง ก็จะเป็นแบบนี้

  • 17 มาจาก 1*5 + 2*6 (เพราะ 1 ถูกขยายไป 5 เท่าในทิศแกน x และ 2 ถูกขยายไป 6 เท่าในทิศแกน x)
  • 39 มาจาก 3*5 + 4*6 (เพราะ 3 ถูกขยายไป 5 เท่าในทิศแกน y และ 4 ถูกขยายไป 6 เท่าในทิศแกน y)

หรือจะมองแบบเดิมๆ ก็คือเป็นแบบนี้ ก็เข้าใจง่ายดี

ถ้าเรารู้แล้วว่า Matrix คูณกับ Vector คือการ Transform Vector นั้นๆ แล้ว Matrix คูณ Matrix มันคืออะไรล่ะ??

Matrix คูณกับ Matrix คืออะไร?

หากเราลองคิดดูดีๆ ว่าเวลาเราเอา Matrix มาคูณกับ Vector มันคือการ Transform 1 ที แล้วถ้าเราจะ Transform 2 ทีล่ะ??
มันก็คือการเอา Matrix มาคูณด้วย 2 ทีรวดยังไงล่ะ!!


ซึ่งก็เปรียบเสมือนการใช้ Matrix 1 ตัว ที่เก็บ Effect ของการ Transform ทั้ง 2 รอบเข้าไปแล้วนั่นเอง (การ Transform อ่านจากขวาไปซ้าย นั่นคือ Transform แบบเหลืองก่อน แล้วค่อย Transform แบบน้ำเงิน)

ซึ่งเราจะหา Effect สุทธิของการ Transform ได้ (หรือผลคูณ Matrix ได้) ก็ต้องเข้าใจก่อนว่า ตกลงแล้ว i และ j สุดท้ายถูกเปลี่ยนให้กลายเป็นอะไรไปแล้ว??

  • i ใหม่ไปไหน ตอนแรก i (1,0) ถูก Matrix เหลืองแก้ทิศทางให้เป็น (a,c) ก่อน
    • ให้เรามองว่าเกิด vector (a,c) ขึ้นมา เพราะ vector ผลลัพธ์จากการ Transform ครั้งแรก คือ (a,c)*1 + (b,d)*0 = (a,c) นั่นเอง
    • จากนั้น (a,c) ก็ถูก Matrix น้ำเงิน Transform Vector นั้นอีกรอบ ทำให้เกิดผลลัพธ์เป็น vector (e,g)*a + (f,h)*c
    • = (a*e+c*f , a*g+c*h)
  • j ใหม่ไปไหน ตอนแรก j (0,1) ถูก Matrix เหลืองแก้ทิศทางให้เป็น (b,d) ก่อน
    • ให้เรามองว่าเกิด vector (b,d) ขึ้นมา เพราะ vector ผลลัพธ์จากการ Transform ครั้งแรก คือ (a,c)*0 + (b,d)*1 = (b,d) นั่นเอง
    • จากนั้น (b,d) ก็ถูก Matrix น้ำเงิน Transform Vector นั้นอีกรอบ ทำให้เกิดผลลัพธ์เป็น vector (e,g)*b + (f,h)*d
    • = (b*e+d*f , b*g+d*h)
  • พอเอาผลลัพธ์กลับมาเขียนในรูป Matrix (ฝั่งซ้ายคือ i ใหม่ ฝั่งขวาคือ j ใหม่) ก็จะได้ว่า แต่ละช่องเป็นดังนี้ ซึ่งเหมือนกับสูตรที่เคยท่องกันสมัยเด็กๆ นั่นแหละ
  • ดังนั้นการที่เราเอา Matrix คูณกัน ก็คือการสั่งให้ Transform vector หลายๆ รอบนั่นเอง

ซึ่งแน่นอนว่าเราสามารถใช้ MMULT ในการคูณ Matrix ใน Excel ได้เลย ง่ายกว่ามานั่งคูณเองมากๆ

ซึ่งสังเกตว่า การ Transform หากสลับลำดับกัน Vector ผลลัพธ์ก็จะไม่เหมือนกันนะครับ (-5,6) กับ (-10,3) นั่นก็แปลว่า Matrix ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่การคูณนั่นเอง

ตอนต่อไป

สำหรับตอนแรก ก็ยาวแล้วเดี่ยวขอจบเพียงเท่านี้ก่อนนะครับ แล้วในตอนหน้าเราจะมาเรียนรู้กันอีกว่า INVERSE คืออะไร DET คืออะไร ซึ่งสามารถทำให้เห็นภาพได้หมดเลย

แหล่งเรียนรู้เพิ่มเติม

ซึ่งความรู้ที่ได้ในบทความนี้ หลักๆ เกิดจากการดูคลิปวีดีโอ series นี้ครับ ถ้าใครอยากเรียนรู้แบบเต็มๆ ล่วงหน้าไปก่อนก็ลองดูได้เลย

แชร์ความรู้ให้เพื่อนๆ ของคุณ
362    
362    

ติดตามเทพเอ็กเซล

  • Facebook
  • YouTube

อบรมกับเทพเอ็กเซล

🔥 คอร์สใหม่ล่าสุด 🔥

การทำ Optimization ด้วย Excel Solver
สำหรับงานวางแผน
คอร์สออนไลน์ เทพเอ็กเซล
คอร์สออนไลน์ จากเทพเอ็กเซล ดูกี่รอบก็ได้
อบรม Excel / Power BI ให้องค์กรของคุณ

บทความล่าสุด

  • วิธีสั่ง Prompt และตั้งค่าใน Stable Diffusion ให้รูปสวยโดนใจ [Part3]
  • วิธีเรียกใช้งาน Model เจ๋งๆ ใน Stable Diffusion [ตอนที่2]
  • วิธีใช้งาน AI สร้างรูปสุดเจ๋งและฟรีด้วย Stable Diffusion ฉบับมือใหม่ [ตอนที่1]
  • 10 ไอเดีย เรียนรู้ Excel ผ่าน ChatGPT AI สุดเจ๋ง
  • การทำ Simulation ด้วย Excel
  • แกะเคล็ดวิชา Excel Wizard ในการแข่ง Speed Run Excel ระดับโลก
  • เจาะลึก CALCULATE ใน DAX แบบลึกสุดใจ : Part 2

บทความแนะนำ

🔥ฟังก์ชันทั้งหมดใน Excel 🔥

  • แกะเคล็ดวิชา Excel Wizard ในการแข่ง Speed Run Excel ระดับโลก
  • เจาะลึก CALCULATE ใน DAX แบบลึกสุดใจ : Part 1
  • Series สอนดึงข้อมูลจากเว็บ ด้วย Power Automate Desktop
  • สรุปการใช้ LAMBDA ฟังก์ชันที่ใช้สร้างฟังก์ชันใน Excel 365 และผองเพื่อน
  • วิธีใช้ Excel คำนวณระยะเวลาการทำงานรวม แถมระบุเวลาพักได้แบบยืดหยุ่น
  • วิธีจัดการข้อมูลแย่ๆ ด้วย Power Query ทั้งข้อมูลปนกัน ข้อมูลอยู่บนหัวตาราง
  • แยกข้อมูลที่อยู่สุดเน่า ด้วย Excel Power Query

Categories

Tags

ai collection concepts copy database Data Model data table data validation date dax dropdown error excel filter finance find format formula function game graph IF index intro irr len link logic lookup match m code merge mid overview paste pivot power query row sort speed split substitute table text textjoin time tips trim vba vlookup

Archives

  • March 2023 (2)
  • February 2023 (2)
  • January 2023 (1)
  • October 2022 (1)
  • September 2022 (3)
  • August 2022 (3)
  • July 2022 (1)
  • June 2022 (3)
  • May 2022 (1)
  • April 2022 (2)
  • February 2022 (1)
  • December 2021 (2)
  • November 2021 (10)
  • September 2021 (2)
  • August 2021 (6)
  • July 2021 (2)
  • June 2021 (2)
  • May 2021 (10)
  • April 2021 (3)
  • March 2021 (3)
  • February 2021 (4)
  • January 2021 (8)
  • December 2020 (5)
  • November 2020 (13)
  • October 2020 (5)
  • September 2020 (11)
  • August 2020 (4)
  • July 2020 (13)
  • June 2020 (17)
  • May 2020 (16)
  • April 2020 (16)
  • March 2020 (10)
  • February 2020 (15)
  • January 2020 (16)
  • December 2019 (4)
  • November 2019 (3)
  • October 2019 (9)
  • September 2019 (1)
  • August 2019 (7)
  • June 2019 (3)
  • May 2019 (9)
  • April 2019 (9)
  • March 2019 (2)
  • February 2018 (1)
  • January 2018 (3)
  • November 2017 (3)
  • August 2017 (1)
  • July 2017 (1)
  • June 2017 (1)
  • May 2017 (6)
  • April 2017 (6)
  • March 2017 (7)
  • February 2017 (1)
  • January 2017 (2)
  • December 2016 (1)
  • October 2016 (2)
  • September 2016 (3)
  • August 2016 (2)
  • July 2016 (2)
  • June 2016 (1)
  • May 2016 (1)
  • April 2016 (1)
  • March 2016 (2)
  • February 2016 (1)
  • January 2016 (2)
  • December 2015 (2)
  • November 2015 (5)
  • October 2015 (3)
  • June 2015 (2)
  • May 2015 (1)
  • April 2015 (26)
  • January 2015 (1)
  • December 2014 (1)
  • November 2014 (2)
  • October 2014 (1)
  • September 2014 (2)
  • August 2014 (1)
  • June 2014 (1)
  • May 2014 (1)
  • April 2014 (3)
  • March 2014 (3)
  • February 2014 (12)
  • January 2014 (7)
  • December 2013 (2)
  • November 2013 (8)
  • October 2013 (2)

เทพเอ็กเซล : Thep Excel

copyright © 2022

  • Facebook
  • YouTube
เว็บไซต์นี้ใช้คุกกี้ (Cookies)
บริษัท เทพเอ็กเซล จำกัด ให้ความสำคัญต่อข้อมูลส่วนบุคคลของท่าน เพื่อการพัฒนาและปรับปรุงเว็บไซต์รวมถึงสินค้าและบริการต่างๆ หากท่านใช้บริการเว็บไซต์นี้ โดยไม่มีการปรับตั้งค่าใดๆ แสดงว่าท่านยินยอมที่จะรับคุกกี้บนเว็บไซต์ และนโยบายสิทธิส่วนบุคคลของเรา
ตั้งค่าคุกกี้ยอมรับทั้งหมดอ่านเพิ่มเติม
Manage consent

Privacy Overview

This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may affect your browsing experience.
Necessary
Always Enabled
Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. These cookies ensure basic functionalities and security features of the website, anonymously.
CookieDurationDescription
cookielawinfo-checkbox-analytics11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Analytics".
cookielawinfo-checkbox-functional11 monthsThe cookie is set by GDPR cookie consent to record the user consent for the cookies in the category "Functional".
cookielawinfo-checkbox-necessary11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookies is used to store the user consent for the cookies in the category "Necessary".
cookielawinfo-checkbox-others11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Other.
cookielawinfo-checkbox-performance11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Performance".
viewed_cookie_policy11 monthsThe cookie is set by the GDPR Cookie Consent plugin and is used to store whether or not user has consented to the use of cookies. It does not store any personal data.
Functional
Functional cookies help to perform certain functionalities like sharing the content of the website on social media platforms, collect feedbacks, and other third-party features.
Performance
Performance cookies are used to understand and analyze the key performance indexes of the website which helps in delivering a better user experience for the visitors.
Analytics
Analytical cookies are used to understand how visitors interact with the website. These cookies help provide information on metrics the number of visitors, bounce rate, traffic source, etc.
Advertisement
Advertisement cookies are used to provide visitors with relevant ads and marketing campaigns. These cookies track visitors across websites and collect information to provide customized ads.
Others
Other uncategorized cookies are those that are being analyzed and have not been classified into a category as yet.
SAVE & ACCEPT