Thep Excel

หลายๆ คนคงเคยเห็นสูตรที่เอาไว้แก่สมการกำลังสองเพื่อหาค่า x

โดยที่หากเราจัดสมการให้อยู่ในรูปแบบ

y=ax^2+bx+c

แล้วถ้าเราจัดเพื่อแก่สมการหาค่า x ที่ทำให้ y =0 เราจะได้ว่า

x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}

ซึ่งหลายๆ คนมองเหมือนว่ามันเป็นสูตรวิเศษที่เอาไว้ท่องจำแล้วแทนค่าอย่างเดียว แต่จริงๆ แล้วมันมีความหมายและที่มาที่ไปที่ควรจะรู้ไว้ด้วยนะ

ก่อนอื่นต้องบอกว่า การจะแก้สมการได้นั้นมี 2 วิธีใหญ่ๆ คือ

1. แยกตัวประกอบ
2. ใช้สูตร

วิธีแยกตัวประกอบ

โดยหลักการถ้าอะไรที่แยกตัวประกอบได้เลย มันก็สามารถคิดเลขในใจได้ง่าย

สมมติโจทย์ คือ

2x^2+10x-12 = 0

แบบนี้เราควรทำให้อยู่ในรูปแบบง่ายสุดก่อน เช่น หาร 2 ทั้งหมด ก็จะได้ว่า

x^2+5x-6 = 0

จากนั้นก็ดูว่า เลข 2 ตัวอะไรเอ่ย? คูณกันได้ -6 แต่บวกกันได้ 5

• ลองแยกตัวประกอบ -6 ก็ จะมี -1×6, 1x-6 ไม่ก็ -2×3, 2x-3
• ดังนั้นในเคสนี้ต้องเลือก -1 กับ 6 อ่ะนะ

ทำให้แยกได้แบบนี้

(x-1)(x+6) = 0

นั่นคือ การที่มันจะเป็น 0 ได้ แสดงว่าแต่ละก้อนเป็น 0 นั่นคือ

• x-1 =0 ทำให้รู้ว่า x= 1
• x+6 =0 ทำให้รู้ว่า x= -6

วิธีใช้สูตร

ถ้าเขียนสูตร Excel หรือเขียน Code ก็จะใช้วิธีที่สองง่ายกว่ามานั่งแยกตัวประกอบ (เพราะมันคำนวณออกมาได้เลย)

x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}

เช่น ถ้าเราใช้ Excel กรอกสูตรนี้เข้าไปก็ชิลๆ เลย

x1 =(-B3-SQRT(B3^2-4*A3*C3))/(2*A3)
x2 =(-B3+SQRT(B3^2-4*A3*C3))/(2*A3)

โดยที่ A3=a, B3=b, C3=c ของสมการ

คำตอบก็จะออกมาเป็น x=-6 กับ x=1 เช่นกัน ลองทำเป็นกราฟก็ยิ่งชัด ว่ามันคือจุดที่กราฟตัดแกน x ซึ่งในที่นี้มีสองจุด

ถ้าเพื่อนๆ ขี้เกียจสร้างกราฟใน Excel ก็ลองใช้ Tools ของ web นี้ได้ครับ ดีเลย

แต่ถ้าเรารู้ที่มาของมันซักหน่อยน่าจะดีกว่าครับ เผื่อเอาไว้อธิบายลูกหลานได้ด้วย

Standard Form

จริงๆ สมการมหัศจรรย์ มันก็เกิดจาก การจัดสมการพาราโบล่านี่แหละ ซึ่ง พาราโบลาในรูปมาตรฐาน (Standard Form) มีสมการดังนี้

y = ax^2 + bx + c

การจะแก้สมการหาค่า x ที่ทำให้ y เป็น 0 เราก็เลยเขียนได้ว่า

ax^2 + bx + c = 0

แล้วพยายามจัดรูป

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

พยายามให้อยู่ในรูปแบบกำลังสองสมบูรณ์

\left[ x^2 + 2x\left(\frac{b}{2a}\right) + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right]
- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0

\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0

\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0

ในที่สุดเราจะได้ค่า

x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}

แต่ไอ้วิธีพิสูจน์แบบนี้ มันดูทื่อๆ ไป ในความคิดของผม ผมคิดว่า ถ้าเราทำความเข้าใจในแง่ของกราฟมันจะเห็นภาพ และเข้าใจความหมายง่ายขึ้นเยอะ

Vertex Form

ซึ่งถ้าเราพยายามจัดกราฟ Parabola ให้อยู่ในรูปแบบ Vertex Form จะเห็นภาพชัดกว่า ซึ่งจะเกี่ยวข้องกับนิยามของ Parabola โดยแท้จริง นั่นก็คือ

พาราโบลา คือเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่มีระยะจากจุด Focus เท่ากับระยะจากเส้นตรง Directrix

โดยที่ระยะห่างจาก Vertex (จุดยอดกราฟ) ไปถึงจุด Focus จะเรียกว่า p (ดังนั้นจาก Vertex ไปเส้น directrix ก็จะยาว p ด้วย)

เรามักจะเขียนกราฟ Parabola ให้อยู่ในรูปแบบนี้

ถ้าเราให้ h,k คือ พิกัดของจุดยอด Vertex ของกราฟพาราโบล่า จะทำให้เรารู้ตำแหน่ง Focus และสมการของ Directrix ไปด้วย

• vertex = (h,k)
• แกนสมมาตร คือ x=h
• focus ต้องเลื่อนขึ้นไปอีก p (จาก k) ทำให้ได้เป็น (h, k+p)
• directrix ต้องลงมาอีก p (จาก k) ทำให้ y=k-p

ทั้งหมดทำให้เขียนสมการอยู่ในรูปแบบนี้ได้

(x - h)^2 = 4p(y - k)

หรือถ้าย้ายข้างให้ y อยู่ข้างเดียวได้ว่า

(y−k)=\frac{1}{4p}(x−h)^2

สามารถดูการพิสูจน์โดยใช้หลักการเรื่องระยะห่างเส้นตรงเท่ากันได้ที่นี่

แล้ว Vertex Form มันไปเกี่ยวกับ Standard Form ยังไง?

ตอนนี้เรารู้แล้วว่า กราฟพาราโบล่าสามารถเขียนได้ในรูปแบบ Vertex Form แล้วมันกลับไปผูกกับรูปแบบ Standard Form ยังไง? มาดูกันทีละขั้นตอน

สมการตอนแรกจะเป็น

(y−k)=\frac{1}{4p}(x−h)^2

หรือ

y=\frac{1}{4p}(x−h)^2 + k

ซึ่งหน้าตาเหมือนกับ

y= ax^2+bx+c

ดังนั้น เราจะเทียบหาค่า a ได้เลย

a=\frac{1}{4p}

หรือเราจะเขียน Vertex Form แบบที่มี a แทน p ก็ได้

y=a(x−h)^2 + k

ความหมายของ a,b,c

a = ตัวกำหนด “ความโค้ง” และ “ทิศทาง”

y= ax^2

• ถ้า a>0 → พาราโบลาหงายขึ้น
• ถ้า a=0 → กลายเป็นกราฟเส้นตรงแบนราบ (ไม่ใช่พาราโบล่า)
• ถ้า a<0 → พาราโบลาคว่ำลง
  • ถ้า a ติดลบ p ก็จะติดลบ ทำให้ จุด focus มันมาอยู่ข้างล่างของ vertex นั่นเอง
• ยิ่ง |a| มาก → กราฟจะแคบลง
• ยิ่ง |a| เล็ก → กราฟจะกว้างออก

สรุปง่ายๆ: a คุม “รูปร่าง” ของพาราโบลา อันนี้น่าจะเข้าใจง่าย จำง่ายนะครับ

ต่อไป มาดูตัว b กับ c กันต่อ

จาก

y=a(x−h)^2+k

ถ้าเรากระจายออกมา จะได้ว่า

y = a(x^2-2hx+h^2) + k

จัดกลุ่มยกกำลัง

y=ax^2−2ahx+(ah^2+k)

แบบนี้แปลว่า

b=-2ah

c=ah^2+k

ทำให้มองในทางกลับกันได้ว่า

h=\frac{-b}{2a}

k=c−\frac{b^2​}{4a}

ถ้าพิจารณาแบบนี้

b = ตัวที่มีผลในการเลื่อนแกนซ้ายขวา

โดยทิศทางของ b ตรงข้ามค่าของ a

• ถ้า a เป็น + : ยิ่ง b มาก = x เลื่อนซ้าย (h ติดลบเยอะ)
• ถ้า a เป็น – : ยิ่ง b มาก = x เลื่อนขวา (h + มาก)
• ถ้า b เป็น 0 จะทำให้ h = 0 (แกนสมมาตรอยู่เส้นดิ่งตรงกลาง)

c = ตัวที่เลื่อนกราฟขึ้นลง และเป็นตัวกำหนด “จุดตัดแกน y” ด้วย

ส่วนตัว c นั้นพิจารณาง่าย เพราะ จาก

y = ax^2 + bx + c

ค่า c มันจะ adjust กราฟให้สูงขึ้น หรือ ต่ำลง (เพราะมัน + – ค่าเข้าไปให้ y ทื่อๆ เลย)

• ถ้า c เป็น + : กราฟเลื่อนขึ้น
• ถ้า c เป็น – : กราฟเลื่อนลง

และถ้าเรา set ให้ x เป็น 0 ค่า c จะ บอกได้เลยว่ากราฟ “ตัดแกน y” ที่ตรงไหน

ดังนั้น c = ตัวที่เลื่อนกราฟขึ้นลง และเป็นตัวกำหนด “จุดตัดแกน y” ด้วย

จะเห็นว่าค่า c จะกำหนดจุดตัดแกน y เสมอ

ถ้า a=1, b = 0 (เหลือแค่ y= x^2 + c)

แม้ว่า ถ้า a=1, b = 4 (กราฟเลื่อนมาซ้าย เพราะ a เป็นบวก b เป็นบวก)

หรือ ถ้า a=1, b = -4 (กราฟเลื่อนมาขวา เพราะ a เป็นบวก b เป็นลบ)

ถ้ามองกลับกัน

จาก standard form

y=ax^2+bx+c

หากเราใช้ calculus (ถ้าใครยังไม่ได้เรียนไม่ต้องซีเรียส) หาจุดต่ำสุดสูงสุด โดยหา dy/dx ซึ่งคือความชัน โดยตั้งให้ =0 เพื่อหาจุดสูงสุด/ต่ำสุด

2ax+b=0

ดังนั้น

นี่แหละคือพิกัด x ของจุดยอด (vertex) หรือค่า h นั่นเอง

h = x = \frac{-b}{2a}

แทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม เพื่อหาค่า y ของ vertex

แทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม เพื่อหาค่า y

y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c

y = \frac{4ac - b^2}{4a}

หรือเขียนอีกแบบว่า

y = k = c - \frac{b^2}{4a}

ลองพิจารณาความหมายของการแก้สมการ

จาก

(x - h)^2 = 4p(y - k)

ถ้าเราหาค่า x ที่ทำให้ y เป็น 0 ดังนั้นเราแทนค่า y= 0 ลงไป

(x - h)^2 = -4pk

ย้ายข้างให้เหลือ x ตัวเดียว

x=h±\sqrt{-4pk}

ดังนั้นคำตอบของกราฟ Parabola มีแกนสมมาตรอยู่ที่ x=h แล้วแผ่ขยายออกไปข้างๆ ด้วยขนาด sqrt(-4pk)

ซึ่งเราถอดรากจริงได้เฉพาะเมื่อค่าข้างในรูท ≥ 0

ดังนั้น:

• ถ้า p>0 (พาราโบลาหงายขึ้น) → ต้องมี k≤0 (จุดยอดอยู่ต่ำ) ถึงจะตัดแกน x ได้
• ถ้า p<0 (พาราโบลาคว่ำลง) → ต้องมี k≥0 (จุดยอดอยู่สูง) ถึงจะตัดแกน x ได้

ซึ่งสอดคล้องกับภาพที่ vertex อยู่เหนือหรือใต้แกน x พอดี

ถ้าเขียนในรูปของ a,b,c คือ

h = \frac{-b}{2a},-4p = \frac{-1}{a},k=c-b^2/4a

จัด k ดีๆ

-4p = \frac{-1}{a},k =\frac{4ac - b^2}{4a}

คำนวณ -4pk

-4pk = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

\sqrt{-4pk} = ระยะจากจุดกึ่งกลาง = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

จุดกลางแกนสมมาตร = \frac{-b}{2a}

x = จุดกลาง ± ระยะจากแกนสมมาตร

x=\frac{-b}{2a}±\frac{\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}

สุดท้ายมันก็มองเป็นสมการมหัศจรรย์ได้นั่นเอง

x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}

สรุป

สรุปสมการ parabora

standard form

y=ax^2+bx+c

vertex form

(x - h)^2 = 4p(y - k)

y = a(x - h)^2 + k

สรุปแต่ละสัญลักษณ์:

สรุปแก้สมการ

หาค่า x ที่ทำให้ y =0

x=h±\sqrt{-4pk}

x=\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}

จำนวนคำตอบของสมการ

เราสามารถมองได้ว่า ค่าภายในรูท (เรียกว่า Discriminant) คือ ค่าที่ช่วยบอกจำนวนคำตอบของสมการได้

• ถ้า > 0 จะทำให้ x มี 2 คำตอบ
  • กราฟตัดแกน x สองจุด
• ถ้า = 0 จะทำให้ x มีคำตอบเดียว
  • กราฟสัมผัสแกน x พอดีที่ vertex นั่นคือ x=h หรือ -b/2a
• ถ้า < 0 ระยะเป็นจำนวนจินตภาพ (ไม่จริง) ไม่มีคำตอบที่เป็นเลขจำนวนจริง
  • กราฟไม่ตัดแกน x นั่นเอง