Author: Sira Ekabut

ในตอนที่แล้วเราได้เรียนเรื่องพื้นฐาน Calculus และเรื่องการหา Derivative กันไปแล้ว ในตอนนี้เราจะมาเรียนอีกเรื่องนึงที่สำคัญมากๆ นั่นก็คือการ Integrate นั่นเองครับ

ซึ่งเจ้า Integration หรือ การอินทิเกรต คือ กระบวนการที่ตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ หรือ Derivative นั่นเอง

Integrate นั้นตรงข้ามกับ Differentiate

รูปแบบทั่วไปคือ ถ้าสมมติ diff ฟังก์กัน F(x) แล้วได้ฟังก์ชัน f(x)

หาเรา integrate f(x) จะได้ F(x) + c

โดยที่

• เครื่องหมาย ∫ คือเครื่องหมาย Integral
• dx คือ ตัวที่บอกว่ามันย้อนการ diff ที่เทียบกับ dx มา
• c คือค่าคงที่ (Constant) ซึ่งเดี๋ยวอ่านต่อข้างล่างจะรู้ว่าทำไมต้องใส่ +c ด้วย

เช่น ตอนเรียนเรื่อง Derivative เราเรียนรู้ไปว่า

ดังนั้น ตอน Integrate จะกลับกันเป็นแบบนี้

เช่น หากถามว่า integrate 3x^2 จะได้เท่าใหร่ ต้องบอกว่า ได้ x^3 +c เพราะสามารถเป็นไปได้หลายแบบเช่น

• x^3 เฉยๆ
• x^3 +5 ก็ได้
• x^3 – 2 ก็ได้
• จะเห็นว่า c จะเป็นค่าคงที่อะไรก็ได้นั่นเอง

ดังนั้นนี่คือสาเหตุที่เราต้องใส่ +c ไว้ในรูปสมการทั่วไปด้วย ซึ่งหลายๆ คนจะลืม +c ตลอด ถึงขนาดมีการทำ meme มาล้อประจำ

ความหมายที่แท้จริงของการ Integrate

หากการหาอนุพันธ์ได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ของกราฟ เช่น

หากเรา Diff เทียบต่อเวลา เราจะแปลงระยะทาง เป็นความเร็ว เป็นความเร่ง ได้

ระยะทาง --> ความเร็ว --> ความเร่ง

ดังนั้นถ้าเรา Integrate เทียบกับเวลา เราก็สามารถย้อนกลับได้เช่นกัน

ความเร่ง --> ความเร็ว --> ระยะทาง

สมมติว่าเรารู้ฟังก์ชันของความเร็วของ รถวิเศษที่เรานั่ง ณ เวลาต่างๆ เป็นดังนี้

หาถามว่าเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที รถวิเศษวิ่งไปได้ระยะทางไกลกี่เมตร? เราจะหาคำตอบยังไง??

แน่นอนว่าถ้าเราวิ่งด้วยความเร็วคงที่ตลอดที่ 5 m/s ถ้าวิ่งแบบนี้ไป 10 วินาที ก็คือ 5 m/s *10 s = 50 m จริงมั้ยครับ ซึ่งเอาจริงๆ มันก็คือการหาพื้นที่ใต้กราฟนั่นเอง

ถ้าเราถามว่า ระหว่างวินาทีที่ 2 ถึง 8 วิ่งได้ระยะทางเท่าไหร่ เราก็หาพื้นที่ใต้กราฟเฉพาะวินาทีที่ 2-8

เรื่องของเรื่องคือ เจ้าพื้นที่ใต้กราฟเนี่ย หาเจ้าเส้นฟังก์ชันของความเร็วมันดันไม่ใช่เส้นตรงทื่อๆ มันจะคำนวณยากแล้ว เช่นแบบนี้

สมมติฟังก์ชันของความเร็วเป็น v= 3t^2+5 เราจะหาพื้นที่ใต้กราฟของเส้นโค้งนี่ได้ยังไง???

แนวคิดก็คือ เราจะแบ่งพื้นที่ใต้กราฟเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเล็กๆ แล้วเอามารวมกัน เช่น

หลักการ คือ ถ้าเราแบ่งสี่เหลี่ยมให้แคบๆ มากๆๆๆๆ (เรียกว่า dt ละกัน) การหาพื้นที่ย่อยๆ (ds) จะได้ว่า

พื้นที่ย่อยสี่เหลี่ยมผืนผ้า ds = สูง*กว้าง = v(t)*dt

ส่วน พื้นที่รวม เราจะใช้การ integreate มาช่วย เพราะเป็นการรวมแบบที่ dt เล็กมากๆๆ เข้าใกล้ 0 นั่นเอง

อย่าลืมว่า integrate ความเร็ว จะได้ ระยะทาง ซึ่งเราคิดไว้แล้วว่าพื้นที่ใต้กราฟของความเร็วคือระยะทาง นั่นแปลว่า integrate ก็คือพื้นที่ใต้กราฟนั่นเอง! (แต่พื้นที่ใต้กราฟสามารถมีส่วนเหนือแกน x เป็น +, ใต้แกน x เป็น – ได้ด้วยนะ ซึ่ง integrate แล้วจะ net หักกัน)

สรุปแนวคิด

หากเราจะเปรียบเทียบความหมายของการหาอนุพันธ์ vs การอินทิเกรต จะเป็นแบบนี้ครับ

• การหาอนุพันธ์ นั้น เราจะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง หรือ ความชันของกราฟ ของจุดที่สนใจ
• การอินทิเกรต นั้น เราจะได้พื้นที่ใต้กราฟ (แบบ net กัน ระหว่างพื้นที่บน กับ ล่าง)

การคำนวณหาระยะทางด้วยความรู้ Integrate

สมมติ v(t)= 3t^2+5

แบบนี้ระยะทาง s ก็คือ

จะได้ว่า ระยะทาง s ณ วินาที่ที่ t คือแบบนี้

s(t) = t^3+5t+c

ถ้าจะหาระยะทางตั้งแต่วินาทีที่ 2-8 ให้ใส่ t เป็น 8 จะได้ระยะทาง ณ วินาทีที่ 8, และใส่ t เป็น 2 ได้ระยะทางวินาทีที่ 2

จากนั้นเอามาลบกัน

• ระยะทาง วินาทีที่ 8 =8^3 + 5*8 + c
• ระยะทาง วินาทีที่ 2 =2^3 + 5*2 + c
• ระยะทาง วินาทีที่ 2 ถึง 8 =(8^3 + 5*8 + c) – (2^3 + 5*2 + c)
• ซึ่ง +c จะตัดกันเสมอ
• = 534 นั่นเอง

แปลว่า ระยะทาง หลังวิ่งไป 10 วินาที ก็จะได้เป็น ระยะทาง วินาทีที่ 10 – ระยะทาง วินาทีที่ 0

• ระยะทาง วินาทีที่ 10 =10^3 + 5*10 + c
• ระยะทาง วินาทีที่ 0 =0^3 + 5*0 + c
• ระยะทาง วินาทีที่ 0 ถึง 10 =(10^3 + 5*10 + c) – (0^3 + 5*0 + c) ซึ่ง +c จะตัดกันเสมอเช่นกัน
• แปลว่าเราใช้ระยะทางวินาทีที่ 10 ได้เลย แบบไม่ต้องมี + c เนอะ
• = 10^3 + 5*10 = 1050 m นั่นเอง

การคำนวณหาระยะทางด้วยความรู้ Excel

ถ้าใช้ Excel เราแค่แบ่งระยะเวลาให้ย่อยมากๆ จนได้ dt เล็กๆๆๆๆ แล้วเอาไปคูณความเร็วของแต่ละ dt นั้นๆ ก็จะได้พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเล็กๆ จากนั้นเอาสี่เหลี่ยมผืนผ้าเล็กๆ มารวมกันก็จะได้พื้นที่ใต้กราฟ เช่น

ซึ่งจะได้ 1050.0155 ซึ่งใกล้เคียงกับ 1050 แต่ไม่เป๊ะหรอกนะ เพราะ dt เราไม่ได้เล็กพอ (แค่นี้ก็อัดไปแสนบรรทัดแล้ว)

และนี่ก็คือ Concept ของการ Integrate ครับ หวังว่าเพื่อนๆ จะพอเห็นภาพนะ

ความรู้แถม : ถ้าไม่อยากเสียพื้นที่ Excel ในการทำตาราง

ถ้าเราไม่อยากมานั่งทดบรรทัดเยอะๆ แบบตารางข้างบนนี้ (เป็นแสนเป็นล้านบรรทัด แถมช้าอีก) ก็ใช้ความรู้ Array Formula หรือ Power Query มาช่วยก็ได้ (อันนี้ค่อนข้าง Advance นะ ใครไม่รู้เรื่องไม่เป็นไรครับ) เช่น

ใช้ความรู้ Array Formula ของ Excel 365

อยากหาระยะทาง ณ เวลา 2 วินาที

ใช้ SEQUENCE สร้างเลข Running ระยะเวลา เช่น

=SEQUENCE(rows,columns,start,step)
=SEQUENCE(A2/E1+1,1,0,E1)

ต่อไปก็คำนวณ v ออกมาจาก v(t)= 3t^2+5 ได้

=3*SEQUENCE(A2/E1+1,1,0,E1)^2+5

ต่อไปเอาไปคูณกับ dt 0.0001 แล้วหาผลรวม

=SUM((3 * SEQUENCE(A2/E1+1,1,0,E1)^2+5) * E1)

lock $ เล็กน้อย ให้ copy สูตรได้

=SUM((3 * SEQUENCE(A2/$E$1+1,1,0,$E$1)^2+5) * $E$1)

ใช้ Array Formula ของ Excel verison เก่า

Excel เก่าไม่มี SEQUENCE สามารถใช้ ROW+INDIRECT มาพลิกแพลงเอา เช่น

=(ROW(INDIRECT("1:"&A2/E1+1))-1)*E1

version เก่าจะไม่มี effect spill แบบนี้ แต่ไม่เป็นไร เดี๋ยวจะทำ step ต่อไปได้อยู่ดี

Tips : การใช้ฟังก์ชัน INDIRECT นั้นเป็น Volatile ฟังก์ชัน ถ้าเลี่ยงได้ก็ควรจะเลี่ยง ดังนั้นเราสามารถใช้ฟังก์ชัน INDEX มาช่วยสร้าง Dynamic Range แทนได้ แล้วค่อยใช้ ROW ครอบ เช่น

=(ROW(A1:INDEX(A:A,A2/E1+1))-1)*E1

จากนั้น lock $ ซะหน่อยเป็นแบบนี้

=(ROW($A$1:INDEX($A:$A,A2/$E$1+1))-1)*$E$1

สุดท้ายก็เหมือนกัน แต่ใช้ SUMPRODUCT มารวมเลยดีกว่า จะไม่ได้ต้องกด Ctrl+Shift+Enter

=SUMPRODUCT((3 * ((ROW($A$1:INDEX($A:$A,A2/$E$1+1))-1)*$E$1)^2+5) * $E$1)

ใช้ความรู้ Power Query มาสร้างฟังก์ชัน

สร้าง Parameter secPara ว่าจะเอา ณ เวลาวินาทีที่เท่าไหร่

จากนั้นสร้าง Query MyArea มาคำนวณพื้นที่รวม โดยอ้างอิงถึง Parameter secPara ที่สร้างไว้

let
    dt=0.0001,
    NumItem = secPara/dt+1,
    Source = List.Numbers(0, NumItem,  dt), //สร้าง Sequence ด้วย List.Number
    ConvertTable = Table.FromList(Source, Splitter.SplitByNothing(), null, null, ExtraValues.Error),
    RenameColumns = Table.RenameColumns(ConvertTable,{{"Column1", "MyTime"}}),
    AddVel = Table.AddColumn(RenameColumns, "MyVel", each 3*Number.Power([MyTime],2)+5),
    AddArea = Table.AddColumn(AddVel, "SmallArea", each [MyVel]*dt),
    SumArea = List.Sum(AddArea[SmallArea])
in
    SumArea

แล้วเอา Query นี้แปลงเป็นฟังก์ชันโดยคลิ๊กขวา Create Function แล้วใช้ชื่อ MyAreaFx ซึ่งรับ input คือ secPara ว่าจะคำนวณระยะทาง ณ วินาทีที่เท่าไหร่

จากนั้นเราก็เอา Table ที่ต้องการหาระยะทาง ณ เวลาต่างๆ เข้าไป แล้วเรียกใช้ฟังก์ชัน MyAreaFx ที่สร้างไว้ ก็จบเลย

ตอนต่อไป

เดี๋ยวตอนหน้าจะเป็นการประยุกต์มากขึ้นอีกหน่อยนะ เช่น คำนวณหาจุดสูงสุดต่ำสุดด้วยการใช้ Diff หรือคำนวณหาปริมาตร ด้วยการ Integrate เป็นต้น

สารบัญ Calculus

วันก่อนผมได้ถามแฟนเพจว่าอยากให้สอนเรื่องอะไรเป็นพิเศษ มีคำตอบนึงทำให้ผมสนใจมาก นั่นคือ อยากให้สอนพื้นฐาน​ Calculus แบบใช้​ Excel​ มาช่วยคำนวณ ตั้งแต่​ Limit, Differential, Integral etc.

ดังนั้น นี่คือบทความที่จะตอบเรื่องนั้นครับ ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าจะมีซักกี่ตอน (เพราะเรื่องนี้อาจไม่มีคนสนใจมากนัก ถ้าไม่ใช่สายวิทย์) แต่คิดว่าคงไม่ค่อยมีใครเขียนถึงอะไรแบบนี้เท่าไหร่ และถือเป็นการทบทวนความรู้ Math ผมไปด้วยในตัว ก็เลยทำซะเลย 555

เอาล่ะ เรามาเริ่มกันเลยดีกว่าว่า Calculus คืออะไร ความหมายของการ Diff จริงๆ คืออะไร แล้วใช้ใน Excel ยังไง?

Calculus คืออะไร?

มันคือหลักการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ศึกษา “อัตราการเปลี่ยนแปลง” ซึ่ง ไอแซค นิวตัน ได้คิดต้นขึ้นเพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ต่างๆ เช่น กฎการเคลื่อนที่ กฎแห่งแรงโน้มถ่วง ที่คณิตศาสตร์สมัยนั้นอธิบายไม่ได้ (จริงๆ มีอีอกคนนึงก็คิดค้น Calculus ในแง่สัญลักษณ์ที่พวกเราใช้กันเหมือนกัน แต่ดันไม่ดังเท่านิวตัน)

ตามปกติแล้ว หากความสัมพันธ์ระหว่างค่า x กับ y เป็นเส้นตรง เราจะสามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x (หรือ ความชัน) ได้ง่ายๆ แบบนี้

ความชัน = การเปลี่ยนแปลงของ y / การเปลี่ยนแปลงของ x = ∆y /∆x = (y2-y1) / (x2-x1)

ซึ่งไม่ว่าคิดที่ตรงจุดไหน ความชันก็เท่ากันทั้งเส้น

แต่ถ้าความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ดันไม่ใช่เส้นตรง แปลว่าแต่ละจุดของเส้นนั้นอาจมีความชันไม่เท่ากันก็ได้ ดังนี้

ซึ่งแนวคิดของ Calculus ก็คือ การที่เราจะสามารถคำนวณหาอัตราการเปลี่ยนแปลง หรือหาความชันของจุดที่เราสนใจได้นั่นเอง (เพราะแต่ละจุดมันไม่เท่ากัน)

ทีนี้ Concept ของมันคือ เราจะหาความชันของจุดที่เส้นความชันมีการสัมผัสกับเส้นโค้งเป๊ะๆ เลยก็ไม่ได้อีก เพราะว่าที่จุดสัมผัสนั้นไม่มีความยาว ไอ้ความชัน ∆y /∆x เดี๋ยวตัวส่วน ∆x เป็น 0 แล้วจะได้ infinity คำนวณไม่ได้

เค้าก็เลยคิด Concept อันนึงขึ้นมาเรียกว่า Limits เพื่อคำนวณสิ่งที่เข้าใกล้ค่าที่กำหนด เช่น แทนที่จะหาความชันของจุดเป๊ะๆ ก็ไปหาความชันของรูปสามเหลี่ยมเล็กๆ แถวๆ จุดนั้นแทน โดยใช้สัญลักษณ์ x แทนจุดเริ่มของ x และเพิ่มระยะไป h จะได้ x+h (บางตำราก็ใช้ ∆x แทน h ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกัน)

ทำให้ความชันของสามเหลี่ยม = ∆y /∆x = f(x+h)-f(x) / h

คราวนี้ค่า h มันก็อาจจะเยอะหรือน้อย ขึ้นอยู่กับสามเปลี่ยมใหญ่แค่ไหน ถ้าเราอยากได้สามเหลี่ยมเล็กๆๆๆ เพื่อให้เราสามารถหาความชันของจุดที่เราต้องการที่จุด x ได้พอดี เราก็ต้องทำให้ระยะ h นั้นสั้นๆๆๆๆ ที่สุดเท่าที่จะทำได้ แต่ห้ามเป็น 0 เราก็จะเรียกว่า limit เมื่อ h เข้าใกล้ 0

เราเรียกการเปลี่ยนแปลงแบบน้อยมากๆๆๆๆๆ ว่า Differentials เช่นเจ้า ∆x เล็กๆ หรือ h ของเราเนี่ย

• เช่น เรียกการเปลี่ยนแปลง x น้อยๆๆ ว่า Differentials ของ x หรือ dx นั่นเอง
• เรียกการเปลี่ยนแปลงของ y น้อยๆ ว่า Differentials ของ y หรือ dy

เราเรียกอัตราการเปลี่ยนแปลงของ dy เทียบกับ dx เล็กๆ ที่เปลี่ยนไป ว่า การหา Derivative (อนุพันธ์) ของ y เทียบกับ x หรือชื่ออื่นๆว่า

• dy/dx (ซึ่งแน่ล่ะ เพราะมันเอาค่า y เล็กๆ หาร x เล็กๆ ไง)
• y’
• f'(x)

ซึ่งมีสูตรคือ

ลองหาอนุพันธ์ของสมการ y=x^2 + 10

สมมติว่าสมการ y ของเรา หรือ f(x) คือ y=x^2 + 10 จะได้ว่า

กระจายตัวยกกำลังสองออกมา ด้วยสูตร (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

x2 +10 เหมือนกันตัดกัน แล้ว ดึง h ออกมานอกวงเล็บ

h เศษกับส่วนตัดกันได้ เพราะว่า h ไม่ใช่ 0 แน่ๆ พอ h เข้าใกล้ 0 ทำให้ 2x+h เข้าใกล้ 2x เฉยๆ

สรุป เมื่อ y=x^2 + 10 แล้ว dy/dx คือ 2x นั่นเอง

แปลว่า เมื่อ y=x^2 + 10 แล้ว
สมการของการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หรือ dy/dx หรือ Derivative ของ y เทียบกับ x จะได้ 2x นั่นเอง

หากเราเอา x กับ y’ มา Plot กราฟ จะได้เส้นสีส้มแบบนี้ ซึ่งค่า y’ คือความชัน ณ จุดที่ x มีค่าต่างๆ กัน เช่น

• ที่ x =-5, y’ =-10 คือความชันเป็น -10 (ลบเยอะ)
• ที่ x =0, y’ =0 คือความชันเป็น 0 (ศูนย์)
• ที่ x =5, y’ =10 คือความชันเป็น 10 (บวกเยอะ)

ซึ่งจะเห็นว่าตรงกับที่เราวาดรูปวิเคราะห์ไว้เลย

มาลองพิสูจน์กันว่า หากเราทำให้ ∆x น้อยลงแล้วหาความชันจะได้เหมือนกัน limits มั้ย?

ทดสอบเรื่อง Limits เมื่อ ∆x เข้าใกล้ 0 ด้วย Excel

ถ้าเราใช้สมการลองทำให้ ∆x มันถี่ๆ มากๆ หน่อย ก็จะยังได้กราฟเส้นเดิมเนอะ ซึ่งเราจะมีค่า y’ เฉลยเอาไว้เทียบกับสิ่งที่เราจะทดสอบ

คราวนี้เราจะลองมาหา y’ โดยใช้วิธีการคำนวณความชันระหว่าง ∆x ที่มีค่าต่างๆ กัน

เริ่มที่ ∆x เป็น 1

จะเห็นว่าค่า y’ ยังต่างจาก y’=2x พอสมควร ลอง plot trend line ออกมาได้ y’=2x+1 เฉยเลย (เพราะว่าค่า h หรือ ∆x ยังมากอยู่ ซึ่งยังไม่ถือว่าเข้าใกล้ 0)

คราวนี้ลอง ∆x เป็น 0.1

จะเห็นว่าค่าเริ่มใกล้เคียง y’=2x ขึ้น โดยเพี้ยนแค่ 0.1 แทนที่จะเพี้ยน 1 เหมือนเดิม 555

คราวนี้ลอง ∆x เป็น 0.0001

ยิ่งถ้า ∆x =0.0001 ยิ่งใกล้ๆๆๆ กับ 2x เข้าไปอีก

นี่แหละความหมายของ dy/dx ล่ะครับ ยิ่ง ∆x มันเข้าใกล้ 0 มันก็จะให้ค่าที่เป็นความชัน หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดนั้นๆ ให้เราเลย ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เค้าก็พยายามหาความสัมพันธ์สำเร็จรูปออกมาให้พวกเราได้ใช้แบบไม่ต้องไปใช้ limits อีกต่อไป

สรุปสูตรของเรื่องการหา Derivative หรือ อนุพันธ์

สูตรหลักที่ 1 : การ diff x^n

สูตรนี้สูตรเดียวใช้ได้หลายเรื่องมาก เช่น

หาก diff ค่าคงที่ c ก็จะเปรียบเหมือนลองมองสูตรบนสุดให้ n เป็น 0 : จะทำให้ 0*X^(0-1) = 0 ไปด้วย

หาก diff x ก็จะเปรียบเหมือนมองสูตรบนสุดให้ n เป็น 1 : จะทำให้ 1*X^(1-1) = 1 นั่นเอง

สูตรหลักที่ 2 : กระจายการบวกลบได้ตรงๆ

จากสูตรนี้ทำให้เรารู้ว่า เราสามารถดึงค่าคงที่ออกมาได้

สาเหตุเพราะว่า

สูตรหลักที่ 3 : กระจายการคูณ = หน้า diff หลัง + หลัง diff หน้า

สูตรหลักที่ 4 : กระจายการหาร = (ล่าง diff บน – บน diff ล่าง) / ล่าง^2

Higher-order Derivatives (อนุพันธ์อันดับสูง)

หาก y=f(x)

อนพันธ์ปกติ หรือ อันดับ 1 คือ diff ไป 1 รอบ

อนพันธ์อันดับ 2 คือ diff y ไป 2 รอบ

อนพันธ์อันดับ n คือ diff y ไป n รอบ

Calculus กับโจทย์การคำนวณเรื่องการเคลื่อนที่

หากเราสามารถ Plot ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง (s) กับ เวลา (t) ได้ด้วยฟังก์ชัน s = f(t)

เราจะสามารถคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง เทียบกับ เวลา หรือ “ความเร็ว (v) “ ว่า

เราจะสามารถคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว เทียบกับ เวลา หรือ “ความเร่ง (a) “ ว่า

เช่น สมมติว่าเราสามารถคำนวณตำแหน่งของการเคลื่อนที่ได้จากฟังก์ชันนี้ (assume ว่า ความเร่ง a คงที่)

• s(t) = ระยะทาง ณ เวลาที่ t
• s0 = ระยะทางจุดเริ่มต้น
• v0 = ความเร็วจุดเริ่มต้น
• t = เวลาที่ผ่านไป
• a = ความเร่ง

จากกฎ Calculus เราจะคำนวณหาฟังก์ชันของความเร็วกับเวลา คือ v หรือ s'(t) ได้จากกฎการกระจายการบวก

เพราะว่า

คำนวณหาฟังก์ชันของความเร่งกับเวลา คือ a หรือ s”(t) หรือ v'(t)

ซึ่งก็ถูกต้องเพราะเคสนี้ สมการการเคลื่อนที่ที่ผมใช้ ต้องใช้กับกรณีที่มีค่า a คงที่นั่นเอง

สูตรพวกนี้ คือสูตรฟิสิกส์ที่เรียนกันใน ม.ปลาย ซึ่งจริงๆ ก็เป็นการหา Derivative มาให้แล้วแบบสำเร็จรูปนั่นเองล่ะครับ

เช่น กรณีที่เราปล่อยลูกบอกจากตึกที่สูง 200m ถามว่า ถ้าผ่านไป 3 วินาที บอลจะมีความเร็วเท่าไหร่

จากสูตรนี้

• v0= ความเร็วเริ่มต้น = 0 m/s
• a = ความเร่ง = แรงดึงดูดของโลก = 9.81 m/s^2
• t = 3 วินาที

ดังนั้นความเร็วที่วินาทีที่ 3 หลังจากปล่อย คือ =0+9.81*(3) = 29.4300 m/s

หากเราลองทำใน Excel ดูแบบไม่พึ่งพา Calculus แต่ใช้การเปลี่ยน t ที่ละ 0.0001 แทน ก็จะเป็นแบบนี้

จะเห็นว่าได้ค่าใกล้เคียงกับการใช้ Calculus มากๆ เลย และนี่แหละคือหลักการของการคำนวณ Change แบบเล็กๆ ของ Calculus ครับ

แปลว่าถ้าถามว่าวินาทีที่ 4 ความเร็วเป็นเท่าไหร่ ผมก็เอาระยะทางที่วินาทีที่ 4 กับวินาทีที่ 4.000001 ลบกัน หารด้วย 0.000001 ก็จบเหมือนกัน เช่น

v วินาทีที่ 4 =( 1/2*9.81*4.000001^2  -  1/2*9.81*4^2 )/0.000001 = 39.240005 
ซึ่งถ้าคิดจาก Calculus จะได้ v วินาทีที่ 4 =9.81*4 = 39.240 ซึ่งก็ถือว่า Excel ก็คำนวณได้ใกล้เคียงล่ะ 555

ตอนต่อไป

ตอนต่อไปจะมาดูเรื่องที่ตรงข้ามกับ Derivatives นั่นก็คือการ Integrate นั่นเอง

สารบัญ Calculus